Strutture di Poisson - Caressa.it

Strutture di Poisson 15delle derivazioni e viceversa (duale come A-modulo), e quindi una “forma differenziale”sarà semplicemente una forma A-lineare su Der K (A). Dobbiamoinfine supporre che esista un morfismo di A-modulitale che, se a,b ∈ A e k ∈ K:d : A → Ω K (A)d(ab) = adb+bdadk = 0d(a+b) = da+dbIn tali ipotesi, considerando l’algebra esterna su Ω K (A) ed estendendo perlinearità la mappa d si ottiene l’analogo dell’algebra di de Rham.Definendo poi, per X ∈ Der K (A),comei X : Ω n K (A) → Ωn−1K (A)(i X ω)(X 1 ∧···∧X n−1 ) := ω(X ∧X 1 ∧···∧X n−1 )si ottiene un operatore di contrazione che permette di definire la derivata diLie di una forma rispetto ad un campo come:L X ω := di X ω +i X dωSi verifica che queste operazioni soddisfano le stesse proprietà formali chesoddisfano nel caso delle varietà differenziabili, ed in particolare osserviamoche vale l’identità seguente:[L X ,L Y ] = L [X,Y]A questo punto abbiamo un modo di sviluppare il calcolo differenzialeesterno sulle algebre associative. Nel caso delle algebredi Poisson, che èquelloche qui interessa, questo formalismo serve a caratterizzare le parentesi diPoisson in termini tensoriali.Consideriamo infatti un’algebra di Poisson (A,·,{}) e supponiamo chesoddisfi alle ipotesi che abbiamo indicato perché vi si possa sviluppare il calcolodifferenziale, e cioè che Der(A) sia un modulo proiettivo e che esista ilmodulo Ω 1 (A) := Hom A (Der(A),A) e la mappa d : A → Ω 1 (A). Ha evidentementesenso parlare di tensori covarianti antisimmetrici, e cioè degli elementidel moduloΩ(A) := ⊕ nΩ n (A) ove Ω n (A) := ∧ n Ω 1 (A)