Strutture di Poisson - Caressa.it

44 Paolo Caressagebra si integra al gruppo SL(2,C) = SU(2)SB(2,C) (decomposizione diGram–Schmidt delle matrici speciali).Questo esempio può generalizzarsi al caso del gruppo speciale unitario didimensione qualsiasi, ma Lu e Weinstein hanno dimostrato che può in realtàgeneralizzarsi a qualsiasi gruppo di Lie compatto. La loro idea consiste nelconsiderare la decomposizione di Iwasawa di un gruppo complesso G in unasua parte compatta ed in una sua parte risolubile:G = K ·A·N = K ·Bove B = A · N è risolubile essendo A abeliano e N nilpotente. Nel casoprecedente si aveva G = SL(2,C), K = SU(2) e B = SB(2,C).Quello che Lu e Weinstein hanno dimostrato è che ogni gruppo compattoK ha una struttura di gruppo di Lie–Poisson data da una r-matrice classica;allora la decomposizione di Iwasawa di un gruppo complesso che abbia ilgruppocompattodipartenzacomefattoreK fornisceilgruppodiLie–PoissonB duale di K, e la tripla di Manin di algebre di Lie (k ⊕ b,k,b). Inoltre sidimostra che in questo modo si ottengono tutte e sole le strutture di gruppodi Lie–Poisson su un gruppo compatto (cfr. [13]).Una generalizzazione del risultato di Lu e Weinstein è stata data da Lui eQian, che hanno considerato l’analogia fra le r-matrici classiche e le strutturequasicomplesse, nel modo seguente.Intanto ricordiamo che se G è un gruppo di Lie reale e connesso, la cuialgebra di Lie sia g, e se H è un sottogruppo chiuso di G, la cui algebra siah, supponendo che g si decomponga comeg = h+m[h,m] ⊆ m(i.e. che G/H sia uno spazio omogeneo riduttivo) allora vale ilTeorema (Koszul) 4.8 G/H possiedeuna struttura complessaG-invariantese e solo se esiste un operatore J ∈ End(g) (endomorfismo di spazi vettoriali)tale che(1) J| h = 0 e J 2 | m = −I.(2) ∀X ∈ h ad X J = Jad X .(3) ∀X,Y,∈ g [JX,JY]−J[JX,Y]−J[X,JY] = [X,Y] mod m.(cfr. [9]).La condizione (3) è sostanzialmente l’equazione di Yang–Baxter modificata(con α = 1) che abbiamo precedentemente discusso: allora l’idea di