Strutture di Poisson - Caressa.it

30 Paolo CaressaJ. Conn ha dimostrato (cfr. [3]), nel caso di strutture di Poisson analiticheche, nell’intorno di un punto di rango nullo, diano luogo ad algebre di Liesemisemplici che vale la linearizzabilità, cioè che le parentesi di Poisson inquel punto sono effettivamente equivalenti a quelle di Lie Poisson.Nel caso di strutture differenziabili, la condizione di semisemplicità non èsufficiente ed occorre richiedere che l’algebra di Lie sia compatta.Oltre a questi risultati fondamentali, per le varietà di Poisson si possonodefinireconcettierisultatianaloghiaquellidellaGeometriaSimplettica,comela riduzione, la quantizzazione geometrica, l’esistenza di mappe momento el’azione hamiltoniana di gruppi di Lie, aspetti per i quali si rimanda, adesempio, a [15].4 Gruppi di Lie–PoissonL’esempio fondamentale che abbiamo più volte considerato fin qui è statoquello delle orbite coaggiunte di un’algebra di Lie g, ovvero delle varietà diPoisson lineari. Osserviamo ancora che le parentesi di Lie–Poisson godono diuna ulteriore proprietà, e cioè rispettano la struttura additiva dello spaziovettoriale g ∗ . Ricordiamo infatti che le parentesi di Lie–Poisson si scrivono suC ∞ (g ∗ ) come{f,g}(v) = 〈v|[(df) v ,(dg) v ]〉il che significa, posto V := g ∗ , che la mappaσ : V ×V → V(v,w) ↦→ v +wdi addizione è una mappa di Poisson, cioèσ ∗ {f,g} = {σ ∗ f,σ ∗ g}essendo σ ∗ f(v,w) = f(w +w). Questa ovvia proprietà ci dice che il gruppoadditivo (V,+) è in qualche modo un gruppo la cui operazione è compatibilecon le parentesi di Poisson sulla varietà V.L’idea che ora vogliamo realizzare è quella di sostituire il gruppo abeliano(V,+) con un qualsiasi gruppo di Lie (G,·). Evidentemente se G è un gruppodi Lie esiste la mappa lisciaµ : G×G → G(g,h) ↦→ g ·he quindi possiamo scrivere la condizione di compatibilità esattamente comenel caso precedente, e dare quindi la seguente