Strutture di Poisson - Caressa.it

Strutture di Poisson 39ove (y 0 = √ 1−y 2 1 −y 2 2 −y 2 3,y 1 ,y 2 ,y 3 ) sono le coordinate di y. Il valore dellefunzioni x i ◦L y e x i ◦R y è facilmente determinato su un generico punto x ∈SU(2) considerando x e y come matrici, effettuando il prodotto matriciale epoi prendendo la coordinata reale x i della matrice prodotto. In modo analogosi ottieneπ 13 (y) = π y (dx 1 ∧dx 3 ) = y 0 y 3 π 23 (y) = π y (dx 2 ∧dx 3 ) = 0con il che il tensore π è totalmente determinato. Avendo a disposizione lesue componenti si verifica immediatamente, usando la condizione di Lie, cheπ è un tensore di Poisson. Possiamo anche constatare senza difficoltà che πverifica la condizione di 1-cociclo:π xy = (dR xy −dL xy )X 2 ∧X 3= (dR xy −d(R y L x )+d(L x R y )−dL xy )X 2 ∧X 3= (dR y dR x −dR y dL x +dL x dR r −dL x dL y )X 2 ∧X 3= dR y π x +dL x π yQuindi abbiamo dimostrato che π rende SU(2) un gruppo di Lie–Poisson.Vediamo ora come questa struttura di Poisson si riverbera sull’algebra di Liesu(2). Consideriamo lo spazio duale su(2) ∗ ; dato che il gruppo di Lie SU(2) èunavarietàdiPoissonsappiamochequestospazio èun’algebradiLie,rispettoalle parentesi:[dx i ,dx j ] = d{x i ,x j } =(∂πij∂x 1)Idx 1 +(∂πij∂x 2)Idx 2 +(∂πijAllora le costanti di struttura dell’algebra di Lie su(2) ∗ sono leA conti fatti si ottengono i valorif ijk := (∂πij∂x k)If 12k = δ k2 f 13k = δ k3 f 23k = 0∂x 3)IUtilizzando quindi la (2) del teorema di Drinfeld–Manin è immediato verificareche su(2) è una bialgebra di Lie, e precisamente, tramite la corrispondenzaseguente fra gli elementi della sua base associata alle coordinate {x i }:dx 1 ↔( )1√200 −√ 12( 01)√2dx 2 ↔0 0dx 3( 0i)√dx 3 ↔ 20 0