Strutture di Poisson - Caressa.it

32 Paolo CaressaAllora possiamo rileggere la definizione di gruppo di Lie–Poisson in questocontesto: la condizione sulla mappa µ si tradurrà nella seguente condizionesul coprodotto ∆ dell’algebra di Hopf C ∞ (G):∆({f,g}) = {∆(f),∆(g)}Questa definizione ha il vantaggio di poter essere scritta su un’algebra diHopf qualsiasi che sia anche un’algebra di Poisson. Allora è ovvio come possadefinirsi il concetto di algebra di Hopf–Poisson che è la versione algebrica delconcetto di gruppo di Lie–Poisson. Non tratteremo la teoria generale dellealgebre di Hopf–Poisson perché è formalmente più complicata e non aggiungemolto a quella dei gruppi di Lie–Poisson: una sua trattazione generale nonè stata ancora data se non parzialmente da Drinfeld, ed una sua possibilemotivazione sarebbe piuttosto la teoria dei quantum groups, che è quellaeffettivamente più studiata dagli algebristi e dai fisici matematici.Torniamo dunque al concetto di gruppo di Lie–Poisson, e cerchiamo qualchecaratterizzazione della definizione generale che, come si vede, non è facilmentetrattabile nei casi concreti.Dato che G è un gruppo di Lie, possiamo considerare la sua algebra di Lieg: sappiamo che possiamo interpretarla come insieme dei campi di vettori suG invarianti a sinistra oppure a destra, e cioè che ogni elemento X ∈ g dàluogo ad un’unico campo ∂ X invariante a sinistra ed ad un’unico campo ∂ X′invariante a destra su G definiti come( ) ∂(∂ X f)(x) :=∂t f(x·exp tX) t=0( ) ∂(∂ Xf)(x) ′ :=∂t f(exp tX ·x)per f ∈ C ∞ (G) e x ∈ G. È un fatto standard della teoria elementare deigruppi di Lie che ∂ (risp. ∂ ′ ) è una rappresentazione (risp. antirappresentazione)dell’algebra di Lie g nell’algebra degli operatori differenziali del primoordine invarianti a sinistra (risp. a destra) su G:∂ X ∂ Y −∂ Y ∂ X = ∂ [X,Y]∂ ′ X ∂′ Y −∂′ Y ∂′ X = −∂′ [X,Y]Se consideriamo una base {X 1 ,...,X n } di g ed i corrispondenti elementi{∂ 1 ,...,∂ n } abbiamo che questi forniscono una banalizzazione del fibratotangente di G (sono una base globale per il modulo dei campi di vettori)e, definendo il gradiente invariante a sinistra di una funzione f ∈ C ∞ (G)come〈(∇f) x |X〉 := (∂ X f)(x)t=0