Strutture di Poisson - Caressa.it

26 Paolo CaressaÈ abbastanza evidente che, su P, ρ è una funzione semicontinua inferiormente,dato che non può decrescere in un intorno di un punto. Nel caso incui sia costante deve ovviamente essere una costante pari, dato che il tensoreπ è antisimmetrico.Definizione 3.2 Una varietà di Poisson di rango costante si dice regolare.L’importanza di questo caso particolare sta nel fatto che possiamo decomporreogni varietà di Poisson regolare in foglie simplettiche: infatti, punto perpunto, i campi hamiltoniani determinano una scelta di un sottospazio di ognispazio tangente (questa scelta avviene in modo liscio) e quindi, dato che ilrango del tensore di Poisson è costante, tale è la dimensione dello spazio deivettori hamiltoniani in x al variare di x in P. In altri termini, la mappa lisciax ↦→ Ham x (P)determina una distribuzione su P. È poi ovvio che questa distribuzione è involutiva,dato che i vettori hamiltoniani formano un’algebra di Lie, e quindi,per il Teorema di Frobenius, integrabile. Questo significa che per ogni puntodella varietà P passa una unica varietà integrale massimale, e che P sidecompone in una foliazione le cui foglie sono queste sottovarietà.Ma non solo: ogni tale foglia S èuna varietà simplettica, dato che, essendomassimale, ha dimensione pari al rango di π| S e dato che, essendo i campihamiltoniani ovunque tangenti ad S, il tensore di Poisson ristretto ad S harango massimo. Abbiamo quindi una decomposizione in foglie simplettiche diogni varietà di Poisson regolare.Osserviamo esplicitamente che questo non è mai il caso dell’esempio fondamentaledelle orbite coaggiunte di un’algebra di Lie: infatti in quel caso leorbite, che abbiamo detto essere proprio le foglie simplettiche che andiamocercando, hanno dimensioni differenti (ad esempio esiste sempre una foglia didimensione zero formata dalla sola origine). Questo dipende dal fatto che ilrango del tensore di Poisson nel caso lineare non è costante.Tuttavia, la decomposizione in foglie simplettiche può farsi su ogni varietàdi Poisson: infatti esiste una generalizzazione del concetto di distribuzioneed anche una generalizzazione del Teorema di Frobenius al caso in cui ladistribuzione non abbia rango costante.Senza addentrarci in dettagli tecnici (cfr. [15]) limitiamoci a descrivere lasituazione senza dimostrazioni.Definizione 3.3 Un insieme di sottospazi vettoriali S(P) = {S x (P)} deglispazi tangenti T x P ad una varietà differenziabile P si dice distribuzionegeneralizzata. Una tale distribuzione si dice differenziabile se:∀x ∈ P ∃X 1 ,...,X r ∈ S(P) S x (P) = span〈X 1 (x),...,X r (x)〉