Strutture di Poisson - Caressa.it

36 Paolo Caressain modo che˜η(∂ k ) = ∑ i,jη ij (exp ∂ k )∂ i ∧∂ jAllora derivando si ottiene( ∂ ∂t˜η(t∂ k))t=0= ∑ i,jf ijk ∂ i ∧∂ je quindi la mappaδ : g → g∧g( ) ∂X ↦→∂t˜η(tX)è la duale delle parentesi di Lie su g ∗ indotte dalle parentesi di Poisson.La discussione precedente prescindeva dal fatto che G fosse un gruppo diLie–Poisson, ma poteva effettuarsi per un qualsiasi gruppo di Lie sul qualefosse anche definita una struttura di varietà di Poisson, a priori indipendentedalla struttura gruppale. Per vedere come queste costruzioni si particolarizzanonelcasodigruppidiLie–Poisson,dobbiamoinqualchemodofarintervenirela condizione di 1-cociclo. Questo può farsi enunciando la seguente definizionedovuta a Drinfeld e Manin:Definizione 4.3(1) Una bialgebra di Lie è una coppia (g,δ) ove g è un’algebra di Lie e δuna mappaδ : g → g∧gtale che la sua duale δ ∗ renda g ∗ a sua volta un’algebra di Lie (rispettoalle parentesi [α,β] := δ ∗ (α ∧ β)) e tale che sia un 1-cociclo rispettoall’azione aggiunta di g su g∧g:t=0ad X (Y ∧Z) = [X,Y]∧Z +Y ∧[X,Z]cioè tale cheδ[X,Y] = ad X δY −ad Y δX(2) Una tripla di Manin è una tripla (g,g + ,g − ) di algebre di Lie ove g siadotata di un prodotto scalare () simmetrico, non degenere ed invariante(rispetto alle parentesi di Lie) tale che(a) g + e g − sono sottoalgebre di Lie di g.