Strutture di Poisson - Caressa.it

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24 Paolo Caressaalgebre in termini di parentesi di Schouten e possiamo farlo anche in questocontesto, scrivendo cioè[π,π] S = 0Per esplicitare questa espressione, anziché considerare le parentesi di Schouten,ricordiamoci che quello che vogliamo caratterizzare è l’identità di Jacobiper le parentesi di Poisson; se la scriviamo localmente per le funzionicoordinate otteniamo:0 = {{x i ,x j },x k }+c.p.(i,j,k) = ∑ r,s= ∑ r∂{x i ,x j } ∂x kπ rs +c.p.(i,j,k) =∂x r ∂x s( )∂π ijπ rk +c.p.(i,j,k)∂x rQuesta condizione, che è stata scoperta da Sophus Lie, esprime una caratterizzazionelocale del tensore di Poisson, cioè ogni 2-tensore controvarianteantisimmetrico che la soddisfi è un tensore di Poisson, e quindi definisce unastruttura di varietà di Poisson su P.Abbiamo quindi una condizione di integrabilità per le strutture di Poissondefinite sulle varietà differenziabili.Possiamo pensare di utilizzare questa condizione per classificare le strutturedi Poisson su una varietà, che poi era il progetto originario di Lie: osserviamoquanto questo sia complicato formulando dei semplici esempi. Intanto,se consideriamo un tensore antisimmetrico costante, questo soddisfa evidentementele condizioni di Lie, e quindi definisce sempre un tensore di Poisson,che però non fornisce esempi molto interessanti. Possiamo allora considerarele funzioni non costanti più semplici che possiamo immaginare, ad esempioquelle lineari. Supponiamo cioè di avere un tensore le cui componenti sianoπ ij (x) = ∑ ka k ij x kfunzioni lineari delle coordinate locali x = (x 1 ,...,x n ). Evidentemente deveaversia k ij = −a k jiperché vogliamo che il nostro tensore sia antisimmetrico. Imponiamo infine lecondizioni di Lie sul tensore π, o meglio sulle sue componenti. Evidentementeotteniamo:0 = ∑ ( )∂π ijπ rk +c.p.(i,j,k) (x) = ∑ ( )∑a s∂xrka r ijx s +c.p.(i,j,k)r rr s
Strutture di Poisson 25e cioè le {a k ij } sono costanti di struttura di un’algebra di Lie g: le parentesi diPoisson così ottenute non sono altro che le parentesi di Lie–Poisson dell’algebradi Lie g e quindi una varietà di Poisson lineare è sempre lo spazio delleorbite coaggiunte di un’algebra di Lie.Lo studio della parentesi di Poisson quadratiche è molto più complicato,ed è stato effettuato da Karasev e Maslov con risultati notevoli(cfr. [10]). Ingenerale sembra impensabile classificare le varietà di Poisson basandosi sull’espressionelocale del tensore di Poisson, come si è fatto nel caso lineare: sarebbeun po’ come voler classificare le algebre di Lie studiando la combinatoriadelle costanti di struttura...Come abbiamo osservato, si può definire una varietà di Poisson come unacoppia (P,π) ove π è il tensore di Poisson associato alle {}; questo sembrain qualche modo analogo al modo in cui sono definite le varietà simplettiche,ed osserviamo che in realtà è l’inverso: infatti se il tensore di Poisson harango massimo, cioè nell’intorno di ogni punto si esprime come una matriceantisimmetrica invertibile, allora il suo tensore inverso è un tensore covarianteantisimmetrico che definisce una forma simplettica: è infatti non degenere(essendo invertibile) e le condizioni di Sophus Lie si trasformano nella condizionedi cociclo dω = 0 come un semplice calcolo, utilizzando la formula delladerivata della matrice inversa, permette di verificare.Quello che vogliamo ora discutere è quanto questa situazione possa generalizzarsinel caso di una varietà di Poisson qualsiasi. Intanto osserviamo cheun esempio fondamentale è quello delle varietà di Poisson lineari, e cioè delleorbite coaggiunte di un’algebra di Lie g: in quel caso la varietà si decomponein modo naturale in sottovarietà simplettiche. Infatti abbiamo menzionato ilfatto che le orbite coaggiunte nelle quali P = g ∗ si spezza sono varietà simplettichee le parentesi di Poisson indotte da queste strutture simplettichesono proprio le restrizioni ad esse delle parentesi di P.Una generalizzazione di questo fatto al caso di varietà di Poisson qualsiasiè possibile, il che consente, in un certo senso, di vedere la teoria delle varietàdi Poisson come una versione “non lineare” del metodo delle orbite.Osserviamo innanzitutto che è definito il concetto di rango di un tensoredi Poisson su una varietà: il rango sarà un concetto locale, ed anzi puntuale,nel senso che si tratta di una funzione ρ definita su P ed a valori interi che,nel punto x ∈ P, è definita come il rango della matrice π(x). Evidentementeil rango sarà una funzione che in generale non potremo pretendere esserecostante: osserviamo ad esempio che una varietà di Poisson di rango costanteed ovunque massimo è simplettica, perché il tensore di Poisson riulta intale caso globalmente invertibile dando luogo in questo modo ad una formasimplettica.
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