Strutture di Poisson - Caressa.it

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46 Paolo Caressadi Poisson: infatti si può dimostrare che, analogamente a quanto avviene nelcaso delle orbite coaggiunte, esiste una azione di G ∗ su G, la cosiddetta azionedressing,equellocheLueWeinsteindimostranocoilorometodiècheleorbitedi questa azione sono le celle della decomposizione di Bruhat del gruppo GG ∗semisemplice complesso rispetto a certi sottogruppi parabolici ottenuti dalladecomposizione di Iwasawa (cfr. [13]).Consideriamo ad esempio il caso di K = SU(2): allora abbiamo K ∗ =SB(2,C) ed il gruppo semisemplice complesso che dà luogo alla tripla diManin è G = SL(2,C). La decomposizione di Iwasawa infatti èG = K A Nove AN = B = SB(2,C). Su SU(2) come varietà di Poisson (ricordiamoche si tratta della 3-sfera) ci sono solo due tipi di foglie simplettiche (a menodi diffeomorfismi) rispetto alla struttura di Poisson indotta dalla r-matriceclassica che abbiamo considerato, cioè rispetto al tensoreπ x = (dR − dL x )(X 2 ∧X 3 )Queste foglie possono essere i singoli punti (come ad esempio l’identità {e})e le 2-sfere. Il modo nel quale queste foglie sono disposte su SU(2) si trovaconsiderando la fibrazione di Hopfτ : SU(2) → S 2con fibra S 1 che è una mappa di Poisson 1 e la decomposizione globale in fogliesimplettiche consta di un cerchio che è la controimmagine del polo nord di S 2ed è costituito dai punti che formano le foglie singolari, e consiste di “pagine”che sono mappate simplettomorficamente via τ in S 2 \ {polo nord}: ognitale “pagina” si ottiene scegliendo un punto (il suo “numero di pagina”) delcerchio τ −1 ({polosud})esollevandoorizzontalmente(i.e.perpendicolarmentealle fibra di τ) le geodetiche di S 2 che passano per i poli nord e sud (cioè imeridiani): la decomposizione così ottenuta è proprio la decomposizione diBruhat (cfr. [13]).Se consideriamo ancora una volta la decomposizione di Iwasawa G = KBe se ricordiamo che in questa decomposizione B si identifica come varietà differenziabileallo spazio vettoriale b tramite la mappa esponenziale, abbiamoche il tensore π B di Poisson indotto su B (dato che B è il duale di K è ungruppo di Lie–Poisson) si può pensare definito su b, che è come spazio vettorialeil duale di k. Ma su b = k ∗ esiste anche la struttura di Lie–Poisson con1 Infatti sipuò dimostrarechese H èun sottogruppochiusodi un gruppo di Lie–PoissonG allora G/H è una varietà di Poisson e la proiezione G → G/H è una mappa di Poisson.
Strutture di Poisson 47tensore di Poisson π LP indotta dall’algebra di Lie k e le cui foglie simplettichecoincidono con le foglie della struttura di Poisson di gruppo di Lie–Poissonduale, dato che in entrambi i casi si tratta di orbite coaggiunte dell’algebradi Lie k.Dato che sia π B che π LP sono nulli nell’identità 0 ∈ b abbiamo che π LP èl’approssimazione lineare di π B in 0. Ma, essendo l’algebra di Lie di partenzasemisemplice e compatta, i risultati di Conn citati nel capitolo precedente ciconsentono di concludere che queste due strutture di Poisson sono isomorfenell’intorno di 0.Vale in realtà il seguente risultato molto più forte:Teorema (Ginzburg–Weinstein) 4.12 Le varietà di Poisson B = K ∗ eb = k ∗ (orbite coaggiunte) sono isomorfe.La dimostrazione di questo teorema è estremamente interessante, datoche coinvolge la teoria di Hodge, la coomologia dfelle algebre di Lie e lateoria di Atiyah–Bott che collega la coomologia equivariante alla teoria dellamomentum map: può enuclearsi dai lavori [7], [12] e [13].Le costruzioni alle quali si è accennato coinvolgono gruppi semisemplici,ma essenzialmente traggono la loro origine nel fatto che le soluzioni delleequazioni di Yang–Baxter (cioè le r-matrici classiche) parametrizzano tuttele strutture di bialgebra di Lie su un’algebra semisemplice.Naturalmente, la costruzione di Lu e Weinstein fornisce uno schema pertrattareigruppiclassici, madalpuntodi vistadellealgebrediLiecorrispondead idee ancor più generali: infatti le soluzioni dell’equazione di Yang–Baxterpossono in generale considerarsi su un’algebra di Kac–Moody. Contentiamocidi vedere in che modo un’algebra di Kac–Moody diviene unan bialgebra diLie.Se g è un’algebra di Kac–Moody con fissato prodotto scalare invariante 〈〉,h è la sottoalgebra di Cartan e b ± le sottoalgebre di Borel (quindi g = b + +b −e b + ∩b − = h) allora, postog#g := g⊕gg + := {X ⊕Y ∈ g#g| X = Y} ∼ = gg − := {X ⊕Y ∈ b + ⊕b − | X| h = −Y| h }e definendo su g#g il prodotto scalare(X 1 ⊕Y 1 ,X 2 ⊕Y 2 ) := 〈X 1 |X 2 〉−〈Y 1 |Y 2 〉allora (g#g,g + ,g − ) è una tripla di Manin e quindi g +∼ = g ha una strutturadi Bialgebra di Lie (infatti la corrispondenza fra triple di Manin e bialgebre
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