Strutture di Poisson - Caressa.it

34 Paolo CaressaLa dimostrazione è una pura verifica tecnica: può trovarsi in [13] e [15].Osserviamo che la condizioneη xy = Ad y −1η x +η yesprime il fatto che η : G → g∧g è un 1-cociclo di G a valori nel G-modulog∧g.Un corollario immediato ed interessante di queste caratterizzazioni è chel’identità del gruppo {e} forma da sola una foglia simplettica, dato che iltensore di Poisson in essa è sempre nullo: π e = π ee = 2π e .Questo fatto è notevole, perchè ci dice, ad esempio, che la struttura diPoisson di un gruppo di Lie–Poisson non può mai essere simplettica. Nonesiste cioè una nozione ben definita di “gruppo simplettico” che sia un casoparticolare della nozione di gruppo di Lie–Poisson. Ha senso definire strutturesimplettiche su gruppi di Lie che siano invarianti rispetto alla strutturagruppale, ma si ottiene qualcosa che non è imparentato con le nozioni che quistiamo trattando.Abbiamo dunque che un 2-tensore controvariante su un gruppo di Lie G,lo rende un gruppo di Lie–Poisson se e solo se soddisfa le due condizioni diintegrabilità e di compatibilità:[π,π] s = 0π xy = dL x π y +dR y π xLaprimacondizione èunaformulazionedell’identità diJacobiperleparentesidi Poisson indotte da π, mentre la seconda è una condizione di 1-cociclo.Vogliamo ora vedere come queste condizioni si possono riformulare in modoinfinitesimale, utilizzando cioè l’algebra di Lie g del gruppo.Sappiamo dalla prima condizione che C ∞ (G) è un’algebra di Lie, il checi dice che lo è anche C ∞ (e), l’algebra dei germi di funzioni intorno al puntounità e ∈ G:∀f,g ∈ C ∞ (e) {f,g} := {f,g}Se consideriamo l’idealem := {f ∈ C ∞ (e)|f(e) = 0}dei germi nulli in e, allora, dato che π e = 0:{C ∞ (e),C ∞ (e)} ⊆ me quindi m è un ideale di Lie, come pure lo è m 2 . Quindi T ∗ e G ∼ = m/m 2 èun’algebra di Lie e, dato che si identifica con g ∗ , abbiamo che anche g ∗ lo è.