Strutture di Poisson - Caressa.it

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20 Paolo CaressaSi dimostra allora (è un conto noioso) la seguente e notevole identità:H{α,β} = [Hα,Hβ]ed inoltre che queste parentesi rendono Ω 1 (A) un’algebra di Lie.Osserviamo comunque che l’identità precedente può esprimersi dicendoche H è un morfismo di algebre di Lie, ed in particolare che fornisce una rappresentazionelineare (tramite le derivazioni) di Ω 1 (A) sullo spazio vettorialeA. Possiamo allora utilizzare questo fatto per definire una particolare coomologiaassociata alla struttura di Poisson, che, in un certo senso, generalizza lacoomologia di de Rham. Questa coomologia è stata definita da Lichnerowiczsulle varietà, ma, come si vede, la sua natura è puramente algebrica, secondola nostra definizione, che è la seguente: se supponiamo che il campo Ksul quale è definita l’algebra A abbia caratteristica zero, possiamo considerarela coomologia di Chevalley–Eilenberg associata alla rappresentazione Hdell’algebra di Lie Ω 1 (A). Questo vuol dire (cfr. [3]) che esiste l’operatoredefinito come〈δρ|α 0 ∧···∧α n 〉 :=i=0∑0...n+δ : Der n (A) → Der n+1 (A)n∑(−1) i Hα i 〈ρ|α 0 ... → ∧ α i ...α n 〉+i
Strutture di Poisson 21Questo invariante è stato definito (in un modo differente) da Krasilščik e Vinogradove consente di formulare alcune estensioni della Meccanica Analiticasulle algebre di Lie (cfr. [10]).Osserviamo che se π è il tensore di Poisson, allora è una cocatena delcomplesso di Poisson (precisamente una 2-cocatena: π ∈ Der 2 (A)), ma inrealtà è un 2-cociclo, cioè dà luogo ad una classe di coomologia [π]. Infatti〈δπ|da∧db∧dc〉 = χ a 〈π|db∧dc〉−χ b 〈π|da∧db〉+χ c 〈π|da∧db〉+−〈π|{da,db}∧dc〉+〈π|{da,dc}∧db〉−〈π|{db,dc}∧da〉= χ a {b,c}−χ b {a,c}+χ c {a,b}+−〈π|d{a,b}∧dc〉+〈π|d{a,c}∧db〉−〈π|d{b,c}∧da〉= 2({a,{b,c}}+{b,{c,a}}+{c,{a,b}})= 0(si osservi che il calcolo mostra che δπ = [π,π] s , ed infatti vale in generaleper un qualsiasi tensore controvariante ρ che δρ = [π,ρ] s ).Abbiamo dunque dimostrato che π è un cociclo e quindi dà luogo ad unaclasse di coomologia; se questa classe è zero, cioè se π è un cobordo, e quindiesiste una derivazione X tale che π = δX, allora la struttura di Poisson sidice esatta o potenziale. Menzioniamo che, analogamente a quanto avvienesulle varietà simplettiche, la classe di coomologia del tensore di Poisson è unaostruzione alla quantizzazione geometrica dell’algebra di Poisson A.È possibile definire anche una omologia per le algebre di Poisson, generalizzandol’omologia canonica che Brylinski ha definito sulle varietà di Poisson(cfr. ad esempio [15]). Qui ci limiteremo a menzionarla, ricordando che in unacerta misura è duale alla coomologia di Poisson, e può essere utilizzata perdefinire successioni spettrali e complessi doppi simili a quelli che Connes hadefinito in Geometria Non–Commutativa.Ilseguente èunageneralizzazionediunteoremadiLichenrowicz nelnostrocontesto algebrico generale:Teorema (Lichnerowicz–Krasilščik) 2.9 SeAèun’algebradi Poissonnondegenere, cioè tale che l’operatore H è un isomorfismo, allora per ogni n ≥ 0:H n dR(A) ∼ = H n Pos(A)Dimostrazione: Dato che H ◦ d = χ e H è un isomorfismo, si ha che lerappresentazioni dell’algebra di Lie Der(A) ∼ = Ω 1 (A) (isomorfismo di algebredi Lie per ipotesi):ι : Der(A) → gl(A) e H : Ω 1 (A) → gl(A)
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