Strutture di Poisson - Caressa.it

Strutture di Poisson 37(b) g = g + ⊕g − come spazi vettoriali.(c) g + e g − sono isotrope massimali rispetto a ().Osserviamointantocheleduenozioniintrodotteinquestadefinizionesonoessenzialmente equivalenti; vale infatti il seguenteTeorema (Drinfeld–Manin) 4.4 Se lo spazio vettoriale di dimensione finitag ed il suo duale g ∗ sono algebre di Lie e se definiamo la mappa lineareΛ : g ∗ ∧g ∗ → g ∗ω 1 ∧ω 2 ↦→ [ω 1 ,ω 2 ]allora le seguenti condizioni sono equivalenti:(1) (g,Λ ∗ ) è una bialgebra di Lie.(2) Se {c k ij} e {f ijk } sono le costanti di struttura di g e di g∗ rispetto a duebasi fra loro duali, si ha∑kc k ijf ijk = ∑ k( )crki fj sk −c s kifj rk −c r kjfi sk +c s kjfirk(3) Esiste un’unica struttura di algebra di Lie sullo spazio vettoriale g⊕g ∗in modo che (g⊕g ∗ ,g,g ∗ ) sia una tripla di Manin rispetto al prodottoscalare(X 1 ⊕ω 1 ,X 2 ⊕ω 2 ) := 〈X 1 |ω 2 〉+〈X 2 |ω 1 〉Per una dimostrazione si veda [15].L’importanza delle nozioni qui introdotte risiede nel fatto che rappresentanola versione infinitesimale del concetto di gruppo di Lie–Poisson.Chiariamolo con un esempio. Consideriamo il gruppoSU(2) = {( α β−β α)|α,β ∈ C, αα+ββ = 1 }che ha dimensione reale 3 e che può essere infatti parametrizzato come superficiedi R 4 nel modo seguente:nelle coordinate realix 2 0 +x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 = 1x 0 = α+α2x 2 = β +β2x 1 = α−α2x 3 = β −β2