Strutture di Poisson - Caressa.it

Strutture di Poisson 31Definizione 4.1 Un gruppo di Lie G si dice gruppo di Lie–Poisson se G,visto come varietà differenziabile, è una varietà di Poisson con parentesi {},e se vale la condizione di compatibilitൠ∗ {f,g} = {µ ∗ f,µ ∗ g}Osserviamo che le parentesi di Poisson scritte alla sinistra della condizionedicompatibilitàsonoineffettiparentesidiPoissonsullavarietàdiPoissonG×G;nonabbiamodefinitoancorailconcettodiprodottodistrutturediPoisson,ma si rimedia facilmente: infatti le parentesi di Poisson sul prodotto P ×Q diqueste varietà di Poisson saranno definite come quelle parentesi che, ristrettea P (risp. Q), coincidono con quelle di P (risp. Q) e che fanno commutare fraloro funzioni definite su fattori diversi, cioè se f dipende solo da elementi di Peg solodaelementi diQallora{f,g} = 0.Naturalmenteoccorreverificarechequesta definizione è effettivamente ben posta e completa. Osserviamo inoltreche per algebre di Poisson può definirsi il prodotto utilizzando i prodottitensoriali. Infatti una verifica noiosa permette di convincersi che il prodottotensorialediduealgebre(A,·,{} A )e(B,·,{} B )èancoraun’algebradiPoissonrispetto alle parentesi{a 1 ⊗b 1 ,a 2 ⊗b 2 } := {a 1 ,a 2 } A ⊗b 1 b 2 +a 1 a 2 ⊗{b 1 ,b 2 } BNaturalmentesuC ∞ (P×Q) questadefinizionealgebricapermettediritrovarequella precedentemente enunciata per le varietà di Poisson.La nozione di gruppo di Lie–Poisson è stata introdotta da Drinfeld nel1983 (cfr. [4]), che vi si imbattè nel suo studio delle soluzioni della cosiddettaequazione di Yang–Baxter.Drinfeldosservòchequestesoluzionieranolegateaparentesi di Poisson che avevano una struttura “gruppale” e definì il concettogenerale di gruppo di Lie–Poisson che qui si è dato con altre motivazioni.Drinfeld utilizzò la sua definizione come trampolino di lancio per edificare lateoria dei quantum groups, che sono oggetti quantistici dei quali i gruppi diLie–Poisson sono limiti classici (cfr. [5]]).Questo campo di ricerca, che ha fruttato a Drinfeld la medaglia Fields,è ora vastissimo e si inquadra nella teoria generale della deformazione dellealgebre di Hopf nelle cosiddette “quantum algebras”.Possiamo, nel nostro piccolo, vedere quale legame esista fra la definizionedi gruppo di Lie–Poisson che abbiamo dato e le algebre di Hopf: intantosappiamo che, se G è un gruppo di Lie, C ∞ (G) è un’algebra di Hopf rispettoal coprodotto ed all’antipodo indotti dalla moltiplicazione gruppale e dalpassaggio all’inverso. In particolare il coprodotto è così definito:∆ : C ∞ (G) → C ∞ (G)⊗C ∞ (G) ֒→ C ∞ (G×G)f ↦→ ((x 1 ,x 2 ) ↦→ f(x 1 ·x 2 ))