Strutture di Poisson - Caressa.it

Strutture di Poisson 33possiamo riscrivere le parentesi di Poisson su G in termini della base {∂ i }come{f,g}(x) = η x ((∇f) x ∧(∇g) x )ove η è il pull-back del tensore di Poisson π di G nel punto e ∈ G identità delgruppo di Lie:η : G → g∧gx ↦→ dL x −1π xavendo esteso la traslazione a sinistra alle potenze tensoriali di g condL x (X 1 ⊗···⊗X n ) := dL x X 1 ⊗···⊗dL x X ned identificato T e G con g.Verifichiamo quello che abbiamo scritto:{f,g}(x) = π x ((df) x ∧(dg) x ) = dL x −1π x ((∇f) x ∧(∇g) x )= η x ((∇f) x ∧(∇g) x )Osserviamo che avremmo potuto dare una definizione analoga in termini dicampi invarianti a destra.Il tensore η gioca il ruolo di tensore di Poisson invariante a sinistra; datochesappiamo comeitensori diPoissonsonolegatiaglioperatorihamiltoniani,possiamo definire un operatore hamiltoniano invariante a sinistra K associatoalla struttura di gruppo di Lie–Poisson di G come〈K x ω 1 |ω 2 〉 = η x (ω 1 ∧ω 2 )Le seguenti condizioni sono delle caratterizzazioni estremamente utili delladefinizione di gruppo di Lie–Poisson, e sono dovute a Drinfeld:Proposizione 4.2 Se G è un gruppo di Lie ed è una varietà di Poissonrispetto a certe parentesi {}, allora le seguenti condizioni sono equivalenti:(1) (G,·,{}) è un gruppo di Lie–Poisson.(2) ∀x,y ∈ G π xy = dL x π y +dR y π x .(3) ∀x,y ∈ G H xy = dL x H ∗ yL x +dR y H x R ∗ y.(4) ∀x,y ∈ G η xy = Ad y −1η x +η y .(5) ∀x,y ∈ G K xy = Ad y −1K x Ad ∗ y +K y .