Strutture di Poisson - Caressa.it

Strutture di Poisson 41effettuano un’equivalenza di categorie.Questo notevolissimo risultato (per una dimostrazione si veda [?] oppure[15]) formula l’analogodella teoria di Lieper i gruppi di Lie–Poisson: consentecioè di integrare sempre una bialgebra di Lie ad un gruppo di Lie–Poissonconnesso, ed ad un’unico gruppo di Lie–Poisson connesso e semplicementeconnesso. Questo riduce in un certo senso il problema di studiare e classificarei gruppi di Lie–Poisson a quello di studiare e classificare le bialgebre di Lie.Lo studio delle bialgebre di Lie è ricco di per sé: infatti esiste un profondolegame, almeno nel caso delle algebre semisemplici, fra le bialgebre di Liee le soluzioni della cosiddetta equazione di Yang–Baxter. Non possiamo quiaddentrarci in questo argomento così intricato seppure interessante e densodi spunti. Limitiamoci ad osservare che il tensore π che abbiamo definito suSU(2) è una r-matrice classica, cioè una soluzione dell’equazione di Yang–Baxter, e che tutti i tensori di Poisson che rendono SU(2) un gruppo di Lie–Poisson sono analoghi ad esso, perché, si dimostra, devono essere soluzioni diun’equazione di Yang–Baxter.Per cercare di gettare qualche lume su quanto detto proveremo a darequalche nozione della teoria delle equazioni di Yang–Baxter. Queste equazionifurono introdotte in Meccanica Statistica, ma qui formuleremo la lorodefinizione intermini puramente algebrici, perché l’interesse che hanno questeequazioni è essenzialmente algebrico.Sia g un’algebra di Lie dotata di un prodotto scalare () invariante e nondegenere (ad esempio, è il caso più naturale, possiamo considerare un’algebradi Lie semisemplice con la sua forma di Killing) e sia R un operatore linearesullo spazio vettoriale g antisimmetrico rispetto al dato prodotto scalare:Allora è definita la mappa bilineare(RX,Y)+(X,RY) = 0[ ] R : g⊗g → gX ⊗Y ↦→ [RX,Y]+[X,RY]che è antisimmetrica (lo è R e lo sono le parentesi di Lie su g).Definizione 4.6 Un operatore lineare antisimmetrico R su g si dice una r-matrice (classica) se la mappa bilineare antisimmetrica [ ] R associata definiscesu g una struttura di algebra di Lie (i.e. se verifica l’identità di Jacobi).Perché, almeno dal nostro punto di vista, le r-matrici sono interessanti? Ilmotivo principale risiede nel seguente