Het Stomachion - KNAW Onderwijsprijs

Conclusie
Archimedes en combinatoriek
Omdat alle hoekensommen van de puzzelstukken uit te drukken zijn in λ valt na te gaan
welke stukken complementair zijn en welke niet. Dit gegeven gecombineerd met de
formules voor de oppervlakten heeft Cutler waarschijnlijk gebruikt om het aantal
mogelijkheden te berekenen. Door een algoritme in een computer in te voeren is hij
uitgekomen op 536 oplossingen.
Sluit je rotaties en spiegelingen niet uit bij de berekening, dan blijken er 17.152
combinaties mogelijk te zijn (bron 24). Hieruit blijkt dat het zeer veel uit maakt welke
beperkingen je stelt aan de verplaatsingen van de puzzelstukken.
De vraag is natuurlijk of Archimedes destijds op de hoogte was van combinatoriek. Hij
kan namelijk ook zonder de wiskunde op 536 (of 17.152) mogelijkheden zijn
uitgekomen, door gewoonweg te puzzelen.
Zoals Netz en Noel in hun boek (bron 5) beschrijven werd algemeen aangenomen dat
rekenkundige problemen met betrekking tot combinatiemogelijkheden tot aan de
zeventiende eeuw geen belangrijk deel uitmaakten van de wiskunde. Volgens
overleveringen hield alleen de Griekse astronoom Hipparchus (ca. 190 v. Chr – 120 v.
Chr.) zich voor die tijd bezig met combinatoriek. Dit blijkt uit een vermelding van de
Griekse schrijver Plutarchus waarin Hipparchus een discussie aangaat met de Griekse
filosoof Chrysippus over het aantal combinaties die te vormen zijn met tien beweringen.
Chrysippus dacht dat het antwoord 1 miljoen was, maar Hipparchus bleek het bij het
rechte eind te hebben, wat bleek toen er in de periode 1994-­‐2002 onderzoek naar werd
gedaan. Wiskundigen kwamen er, net als Hipparchus op uit dat er of 103.049 of 310.954
mogelijkheden waren, afhankelijk van de condities.
Hipparchus was jonger dan Archimedes dus het is goed mogelijk dat Archimedes de
basis van de combinatoriek legde waar Hipparchus vervolgens op voortgebouwd heeft.
Dit zou een belangrijke ontdekking zijn en ons beeld van de Oudgriekse wiskunde
positief veranderen.
De tekst en de wiskunde
Omdat de tekst van het Stomachion onvolledig is, is het lastig te zeggen waar
Archimedes met zijn wiskundige beschrijving heen wil. Het belangrijkste probleem is
dat de figuur die Archimedes beschrijft niet overeenkomt met de figuur waaruit door
meerdere auteurs conclusies getrokken zijn.
De stelligheid waarmee Netz en Noel het Stomachion interpreteren als een vierkante
puzzel waarvan het de bedoeling is dat er verschillende mogelijkheden worden bedacht
om de puzzelstukken weer in dat vierkant te krijgen, kan ik niet onderschrijven. Naar
mijn mening toont onderzoek naar de teksten en de figuren aan dat lang nog niet alles is
ontdekt en opgehelderd. Bovendien is het nog helemaal niet zeker dat het Stomachion
dat Archimedes beschrijft een vierkant is. Zoals al eerder genoemd heeft Archimedes het
in zijn tekst over twee vierkanten, die samen een rechthoek vormen. Echter voorheen is
men altijd uitgegaan van de vierkante versie van het Stomachion, maar daar heeft
Archimedes het helemaal niet over. De vierkante versie van het Stomachion is niet per
se fout, maar we moeten er rekening mee houden dat een Stomachion elke vorm van een
rechthoek kan zijn.
Met enige zekerheid kunnen we er van uit gaan dat Archimedes zich bezighield met
combinatoriek, want dat blijkt uit zijn tekst.
28