Het Stomachion - KNAW Onderwijsprijs

Het Stomachion
Raadsel van de puzzel
What marvel of antiquity be this,
This fabled square of 14 parts comprised?
The legends credit Archimedes' wit
With clever cuts that render every tile
An integer. All sum to twelve by twelve.
Solve 18 figures lore has handed down,
Like unto tangrams of a later time,
And many new designs discovered since.
Behold the oldest puzzle ever told,
Our heritage of mind, millennia old.
Now scholars scramble to decode, with zest,
Archimedes much-­‐prized Palimpsest,
A scroll long lost, inscribed by his own hands,
A rarest find from Greek and Latin lands.
Uit catalogus van Kadon Enterprises
Emma Huig V6A
Oktober 2012 – Maart 2013
Meneer R. Deinema
Meneer P. de Lange

Inhoudsopgave
Voorwoord 3
Inleiding 4
Het Stomachion 10
Griekse tekst en Nederlandse vertaling 11
Discussie over de tekst 17
Combinatoriek 21
Conclusie 28
Bronvermelding 29
Bijlagen 30
2

Voorwoord
Als leerling in 6 VWO is het een vereiste om een profielwerkstuk te schrijven. Het is dan
aan de leerling zelf om een vak, een onderwerp en een onderzoek te kiezen. Dat vond ik
nog niet zo makkelijk. Ik ben toen bij mezelf nagegaan: welk vak doe ik puur en alleen
omdat ik het leuk vind en waar wil ik tachtig uur mee bezig zijn? Die vraag reduceerde
mijn opties tot Grieks en nog enkele vakken. Ik bedacht me dat ik door een
profielwerkstuk te maken over een Griekse wetenschapper wellicht een leuke
combinatie kon maken van Grieks, een vak dat ik gewoon leuk vind, en een bètavak, een
van mijn profielvakken, om er toch een profielwerkstuk van te maken.
Een Griekse wetenschapper dus. Ik had alleen nog geen idee van wat en hoe. Ik ben toen
naar meneer Deinema (klassieke talen) gegaan en heb hem mijn probleem voorgelegd.
Op het moment zelf had hij ook nog geen idee, maar kort daarop kwam hij naar me toe
met een onderwerp waarover hij recent een boek gelezen had: De Archimedes
Palimpsest.
Na me een beetje verdiept te hebben in dit onderwerp was ik erg enthousiast geworden.
Vooral de puzzel het Stomachion sprak me erg aan, omdat het een wiskundige figuur
betreft waar ik wellicht iets mee zou kunnen doen. Meneer De Lange (wiskunde) wilde
me graag begeleiden bij het wiskundige deel. Op die manier ben ik uiteindelijk bij dit
onderwerp gekomen.
In dit profielwerkstuk zal ik de tekst van het Stomachion vertalen, zal ik een
beschouwing geven van de al bekende gegevens en literatuur over het Stomachion en
zal ik zo veel als mogelijk de wiskunde achter de puzzel behandelen. Dit zal veel te
maken hebben met meetkunde en combinatoriek. Mijn belangrijkste vraag die ik mezelf
in dit werkstuk stel is: ‘wat zegt Archimedes nou echt?’. Door eerst de vertaling te maken
en daarna de wiskunde achter het Stomachion te beschouwen zal ik een conclusie
trekken over wat Archimedes bedoelt en wat er misschien geïnterpreteerd is in de al
bekende literatuur over het Stomachion.
Tenslotte mijn dank aan meneer Deinema voor zijn adviezen en enthousiaste
begeleiding bij dit werkstuk en aan meneer de Lange die bereid was mij te helpen bij het
wiskundige deel.
3

Inleiding
Een unieke puzzel
Dit profielwerkstuk behandelt het Stomachion van Archimedes uit de Archimedes
Palimpsest. Het Stomachion is de oudst bekende puzzel ter wereld, ruim 2000 jaar oud.
In 1906 dook de Archimedes Palimpsest na lang verdwenen te zijn weer op, maar het
was pas in het jaar 1998 dat er een uitgebreid onderzoek naar begonnen werd door het
Walters Art Museum in Baltimore, Maryland met als belangrijkste doel het achterhalen
van de onleesbare Griekse teksten. Doordat bij dit laatste gebruik wordt gemaakt van de
modernste stralingstechnieken zijn de volledige Griekse teksten pas sinds kortgeleden
zichtbaar gemaakt. Er zijn dan ook nog geen vertalingen van deze gereconstrueerde
teksten uitgegeven. Het team van het Walters Art Museum is op dit moment bezig met
de eerste Engelse vertaling en ik presenteer in dit werkstuk de eerste Nederlandse
vertaling.
Archimedes van Syracuse
Archimedes is een van de belangrijkste wetenschappers uit de klassieke oudheid. Over
zijn leven is vrij weinig met zekerheid bekend. Hij zou geboren zijn in 287 v. Chr. In
Syracuse, Sicilië, maar ook dit is zeer onzeker. Hij studeerde wiskunde in Alexandrië,
Egypte waar hij les kreeg van leerlingen van Euclides. Na zijn studie keerde hij terug
naar Syracuse, waar hij zijn onderzoeken op het gebied van wiskunde en fysica
voortzette.
Archimedes is gedood in 212 v. Chr. bij de inname van Syracuse door de Romeinen. Het
verhaal gaat dat een soldaat zijn huis binnendrong waar Archimedes bezig was met een
wiskundig probleem. Hierbij had hij cirkels getekend in een zandbak. De soldaat rende
door deze zandbak heen, waarop Archimedes riep: ‘ Verstoor mijn cirkels niet!’ Hierop
doodde de soldaat Archimedes met zijn zwaard.
De Romeinse bevelvoerder Marcus Marcellus was een groot bewonderaar van
Archimedes en had opdracht gegeven hem levend naar Rome te brengen. In plaats
daarvan werden al zijn geschriften en modellen naar Rome gebracht.
Veel van de werken van Archimedes worden tegenwoordig nog steeds gebruikt. Hier
volgen enkelen van zijn ontdekkingen.
Natuurkunde
De Wet van Archimedes – ‘Een geheel of gedeeltelijk in een vloeistof gedompeld lichaam
ondervindt een opwaartse kracht die gelijk is aan het gewicht van de verplaatste vloeistof.’
Volgens de overleveringen had Archimedes de opdracht gekregen te onderzoeken of de
gouden kroon van Hiero II wel van puur goud was. Hij zou in bad het theoretisch bewijs
bedacht hebben, waarna hij naakt uit bad sprong en riep: ‘Eureka!’ (‘ευρηκα!’ = ‘Ik heb
het gevonden!’). De kroon bleek vervalst en gedeeltelijk van zilver te zijn.
Hefboomwet – arm*gewicht = constant. Zijn bekend kreet luidt: ‘Geef mij een steunpunt
en ik til de aarde op’ (‘δοσ µοι που στω και κινω την γην’). Deze natuurkundige
ontdekking leidde tot vele toepassingen in de techniek zoals de katapult.
4

Techniek
De Schroef van Archimedes – Hiermee kunnen vloeistoffen en poeders getransporteerd
worden. Het transport vindt zowel omhoog als horizontaal plaats.
Afbeelding 1: de Schroef van Archimedes
Zonnespiegel – Het verhaal gaat dat Archimedes door middel van zeer grote spiegels en
de reflectie van de zon vijandelijke schepen verbrand zou hebben. Dit experiment is in
de afgelopen jaren meerdere malen herhaald en de conclusie was dat het theoretisch
mogelijk is, maar in de praktijk niet haalbaar.
Wiskunde
Goede benadering van π -­‐ 223/71 < π < 22/7 à π is ongeveer 3,1415.
Bepaling van oppervlakten en volumes van diverse meetkundige figuren – hiertoe
gebruikte hij een voorloper van integraalrekening, die uitgevonden zou zijn door
Eudoxus van Cnidus.
Axioma van Archimedes: Als a < b, dan bestaat er een natuurlijk getal n zodat a*n > b.
Het Zandgetal – Toen Archimedes de omvang van het heelal probeerde te beschrijven,
stuitte hij op zeer grote getallen. Om het werken met deze getallen makkelijker te maken
bedacht hij een systeem om zeer grote getallen korter op te schrijven. Hij gaf
verschillende zeer grote getallen namen, bijvoorbeeld 10.000 = myrias (μυριάς). Voor
het aantal zandkorrels dat in het heelal zou passen vond hij: 8 vigintillion, ofwel 8*10 63 .
Net als vrijwel alle wetenschappers bevond Archimedes zich in een wetenschappelijk
circuit. Na zijn studie in Alexandrië bleef hij corresponderen met wetenschappers aldaar
en rest van de antieke wereld. Het is waarschijnlijk dat veel van zijn ontdekkingen niet
enkel en alleen door hem zelf zijn gedaan, maar dat het uitgewerkte versies zijn van
ontdekkingen van anderen. Dit is gebruikelijk in de wetenschap en vindt heden ten dage
ook plaats.
5

Geschriften
Archimedes schreef de resultaten van zijn onderzoeken op in monografieën. Geen enkel
overgeleverd geschrift is echter van de hand van Archimedes zelf. Vaak zijn het
onvolledige vertalingen of bewerkingen.
-­‐ Het evenwicht in het platte vlak
-­‐ Drijvende lichamen
-­‐ Methode
-­‐ Spiralen
-­‐ Bol en cilinder
-­‐ Cirkelmeting
-­‐ Stomachion
-­‐ Over conoïden en spheroïden
-­‐ Kwadratuur van de parabool
-­‐ Rundvee-­‐probleem
-­‐ Zandrekenaar
Waarschijnlijk waren er oorspronkelijk nog veel meer geschriften van Archimedes, maar
die zijn verloren gegaan. Dit weten we omdat er in geschriften van andere
wetenschappers aan gerefereerd wordt.
De Archimedes Palimpsest
Een palimpsest is een hergebruikt stuk perkament (bewerkte dierenhuid) waarvan de
oorspronkelijke tekst onleesbaar is gemaakt. Het woord komt van de Griekse woorden
παλιν (wederom) en ψηστοσ (vervoeging van ψαω: ik wrijf).
In de Archimedes Palimpsest staan enkele ‘verborgen teksten’ van Archimedes. De
stukken perkament zijn in de dertiende eeuw hergebruikt om een gebedenboek van te
maken. Alleen met de modernste chemische technieken zijn deze teksten nog zichtbaar
te maken. Hier volgt een chronologisch overzicht van de Archimedes Palimpsest
(bronnen 5 en 17).
Ca. 287 – 212 v. Chr. – Archimedes schrijft zijn monografieën op papyrusrollen.
212 v. Chr. – 1000 n. Chr. – De originele geschriften van Archimedes zijn verloren
gegaan, maar onbekende personen hebben ze enkele malen overgeschreven op andere
papyrusrollen.
Ca. 1000 – Een onbekende schrijver in Constantinopel (het huidige Istanbul) kopieert de
geschriften met bijbehorende figuren en berekeningen op perkament, en voegt ze samen
tot een boek.
Ca. 1200 – Een christelijke monnik schrijft in het Grieks gebeden over de geschriften van
Archimedes heen en maakt er een gebedenboek van.
Ca. 1200 -­‐1906 – Eeuwenlang wordt het boek gebruikt door de christelijke kerk en
uiteindelijk komt het terecht in het Mar Saba klooster in Constantinopel, waar het
verscheidene rampen overleeft, waaronder de Vierde Kruistocht in 1204, waarbij
Constantinopel is geplunderd.
1906 – De Deense filoloog (tak van taalkunde die zich richt op dode talen) Johan Ludvig
Heiberg ontdekt het manuscript in de bibliotheek van de Heilige Grafkerk in Istanbul. Hij
herkent de onderliggende laag tekst als geschriften van Archimedes en fotografeert
iedere bladzijde. Hiervan vertaalt hij wat hij kan lezen met als enige hulpmiddel een
vergrootglas.
6

1907 – 1930 – De Palimpsest raakt zoek en is waarschijnlijk gestolen. In deze tijd
schildert een vervalser met bladgoud kopieën van middeleeuwse portretten van de
evangelisten op vier bladzijden van het boek, zich niet realiserend dat er geschriften van
Archimedes onder zitten.
Ca. 1930 – Een Franse verzamelaar Marie Louis Sirieix reist naar Istanbul waar hij de
Palimpsest van een plaatselijke handelaar verkrijgt. Het manuscript blijft vervolgens
tientallen jaren verborgen in Paris.
Ca. 1970 – Erfgename Anne Guersan onderneemt stappen om de Palimpsest te
restaureren. De hiervoor gebruikte poly(vinyl)acetaat-­‐lijm (PVAC) heeft het manuscript
echter, in plaats van het te verbeteren, geen goed gedaan en heeft de problemen voor de
latere ontcijferaars alleen maar vergroot.
1971 – Nigel Wilson, een professor klassieke talen in Oxford, herkent een stuk
perkament als een bladzijde van de vermiste Archimedes Palimpsest, die Heiberg 65
jaar eerder gefotografeerd heeft.
1991 – De Franse eigenaren van de Archimedes Palimpsest vragen een expert bij het
kunstveiling huis Christie’s in Parijs om een taxatie van het manuscript. De taxateur
ontdekt dat dit het verloren Palimpsest van Archimedes is en schat het op een waarde
tussen $ 800.000 en $ 1,2 miljoen.
1998 – Het manuscript wordt geveild bij Christie’s voor $ 2 miljoen aan een onbekende
particulier. De andere gegadigde, de Griekse staat, vist achter het net.
1998 – heden – De onbekende eigenaar leent het manuscript aan het Walters Art
Museum in Baltimore, Maryland, waar een compleet team werkt aan het achterhalen en
vertalen van de teksten.
Het originele document
De kopiist uit de tiende eeuw was schrijver van beroep en gewend aan het overschrijven
van oude teksten. Bij het overschrijven van de monografieën van Archimedes, die onder
andere een brief aan Eratosthenes bevatte, hield hij zich aan een strak schema: elk folio
was ongeveer 30 bij 19,5 cm; hij schreef de tekst in twee kolommen, elke kolom 35
regels lang. Ook gebruikte hij ruime marges, dus waren de kolommen in totaal 24 cm
hoog en 14,5 cm breed.
Mogelijk heeft deze kopiist, waarvan wij nu het werk overgeleverd gekregen hebben,
een ander document uit de zesde eeuw overgeschreven, maar dit is zeer onzeker. Wat
ook onduidelijk is, is of dit tiende-­‐eeuwse manuscript oorspronkelijk meer teksten van
Archimedes bevatte.
Het huidige manuscript bevat de volgende teksten van Archimedes.
1. Evenwicht in het platte vlak (alleen het laatste deel)
2. Drijvende lichamen
3. Methode
4. Spiralen
5. Bol en cilinder
6. Cirkelmeting
7. Stomachion (alleen het begin)
Het maken van een palimpsest
Bij het ‘hergebruiken’ van Archimedes’ geschriften is de kopiist uit de dertiende eeuw
volgens een standaard schema te werk gegaan. Eerst heeft hij de folio’s van elkaar
losgemaakt door de stiksels door te snijden. Daarna volgde het onleesbaar maken van de
teksten. Dit is waarschijnlijk gebeurd door middel van een zuur mengsel. In de
7

Archimedes Codex wordt genoemd dat dit zelfs met sinaasappelsap en een spons
mogelijk is. De geschriften van Archimedes zijn waarschijnlijk ook nog afgeschuurd met
puimsteen.
Wat een kopiist daarna deed was een folio langs de vouwlijn in tweeën snijden. Gelukkig
heeft hij ze verder niet bijgesneden, zodat er geen inktsporen van de geschriften van
Archimedes verdwenen zijn. Vervolgens draaide hij de ‘halve folio’s’, vouwde ze in het
midden en maakte er zo een ‘nieuw’ boek van (afbeelding 2). Als gevolg hiervan staan de
gebeden onder een hoek van 90˚ met de tekst van Archimedes (zie ook bijlage 1).
Afbeelding 2: hoe een palimpsest gemaakt wordt
Het achterhalen van de verborgen teksten
Het manuscript heeft in de loop van de eeuwen veel te lijden gehad. Het is aangetast
door schimmel, vuur en vocht. Bovendien hebben allerlei kopiisten, vervalsers en
‘restaurateurs’ hun steentje bijgedragen aan het verknoeien van dit eeuwenoude
geschrift. Het mag dus een wonder heten dat we überhaupt nog iets over hebben van de
Archimedes Palimpsest!
Abigail Quandt is hoofd van het Walters-­‐laboratorium voor boek-­‐ en papierconservering
en heeft een belangrijke rol gespeeld bij het achterhalen van de teksten van Archimedes.
Ze ontdekte dat het document er extreem slecht aan toe was door voornamelijk de
inwerking van schimmel op het perkament, maar ook door het gebruik van PVAC omdat
dit uitzet als het in contact komt met water en alcohol en als het eenmaal is opgedroogd
is het onmogelijk het weer op te lossen. Het grote probleem was dat voornamelijk de rug
van het manuscript behandeld was met PVAC, terwijl juist dat de stukken waren die
door Heiberg niet gelezen konden worden.
Abigail is in staat gebleken de folio’s van elkaar los te halen zonder al te veel
beschadigingen aan te richten. Ze bestreek het perkament bij de rug van het boek met
een mengsel van isopropanol en water waardoor het soepel werd en de folio’s
losgehaald en gladgestreken konden worden.
8

Nu volgde het zichtbaar maken van de tekst door middel van lichttechnieken (zie bron
18). Hiervoor werd eerst ultraviolette straling gebruikt, maar later ook röntgenstraling.
Hiervoor werd geen gewone röntgenstraling gebruikt, maar synchrotronstraling die
wordt geproduceerd door een synchrotron (zie bron 19) en die veel krachtiger straling
uitzendt dan gewone röntgenstraling. Een synchrotron is een soort deeltjesversneller.
Het probleem met deze straling is dat het perkament mogelijk kan beschadigen.
Hiermee zijn door het Canadian Conservation Institute proeven uitgevoerd om te zien
hoe het perkament reageert op blootstelling aan deze röntgenstraling. Zoals blijkt uit
bron 20 is dit effect te verwaarlozen.
9

Het Stomachion
Het Stomachion is een geometrische puzzel bestaande uit veertien verschillende
puzzelstukjes. Het is met ruim 2000 jaar oud de oudste puzzel die bekend is. Voorheen
werd, aldus Netz en Noel, door Heiberg aangenomen dat het doel van de puzzel was om
zo veel mogelijk figuren met de verschillende stukjes te vormen. Het Stomachion zou
verwant zijn aan de Chinese tangram: een vergelijkbare puzzel waarmee allerlei figuren
te vormen zijn, bedoeld als spelletje. Andere wetenschappers zoals James Gow in zijn
boek Short History of Greek Mathematics (1884), waren van mening dat het de bedoeling
was de puzzelstukjes op zoveel mogelijk manieren terug in het vierkant te krijgen.
Netz en Noel beschrijven in hun boek (bron 5) dat na de reconstructie van de tekst van
het Stomachion in de Archimedes Palimpsest is gebleken dat Archimedes doelde op de
laatste vorm en dat we dus te maken hebben met serieuze combinatoriek en niet zomaar
een spelletje.
De inhoud van het Griekse manuscript bevat de wiskundige uitleg rondom de figuur. Na
de inleiding waarin Archimedes uitleg geeft over het gebruik van het Stomachion, volgt
een uiteenlegging van de verschillende puzzelstukken. De tekst is echter verre van
volledig. Het grootste deel van de tekst is verloren gegaan. Dit komt doordat het
perkament waar het Stomachion op geschreven was aan de achterkant van het
gebedenboek zat. Het tweede deel van het Stomachion is dus het ernstigst aangetast
door vocht, schimmel en vuur en voorgoed verloren gegaan. De kans is klein dat we ooit
te weten komen wat hierin gestaan heeft.
Behalve de Griekse tekst uit de Archimedes Palimpsest is er ook nog een andere,
Arabische tekst over het Stomachion bewaard gebleven die niet oorspronkelijk door
Archimedes geschreven is. Dit manuscript geeft een overzicht van hoe de figuur is
opgebouwd, maar is helaas evenals het Griekse manuscript fragmentarisch. Zie bijlage 3
voor de Engelse vertaling van deze tekst.
10

Griekse tekst en Nederlandse vertaling
Werkwijze bij de vertaling
In dit hoofdstuk zal ik beschrijven hoe ik te werk ben gegaan en welke moeilijkheden ik
ben tegengekomen tijdens het vertalen van het Stomachion.
De eerste stap was het vinden van de Griekse tekst. Dit leverde direct al een probleem
op, de tekst bleek op het internet moeilijk vindbaar. Er waren wel meerdere versies van
de tekst van Heiberg (bron 1) te vinden . Uiteindelijk vond ik de aangevulde tekst van
het Stomachion (bron 2), alleen was de vraag of dit de juiste tekst was. Ondertussen
kreeg ik van meneer Deinema de tip over de wetenschappelijke uitgave van The
Archimedes Palimpsest (bron 3). Dit boek kon ik vinden in de bibliotheek van de
Universiteit van Amsterdam. Ik mocht het helaas niet mee naar huis nemen, maar ik
moest de tekst kopiëren. Toch was ik allang blij dat ik nu eindelijk de goede tekst te
pakken had.
Zodra ik begon met vertalen merkte ik dat het een lastige klus zou gaan worden en dat
het me zonder een andere vertaling niet ging lukken. Ik ging op zoek naar deze vertaling.
Ik vond een e-­‐mailadres van William Noel op de site van de Archimedes Palimpsest
(bron 4) en ik besloot hem te mailen. Ik kreeg zowaar antwoord! Hij verwees me door
naar Reviel Netz. Deze heeft echter geen antwoord gegeven, waarschijnlijk omdat van de
gerestaureerde tekst de volledige Engelse vertaling nog niet gepubliceerd was en ze hem
niet zo maar wilden afstaan aan een willekeurige Amsterdamse scholiere. Dat werd dus
helaas een dood eind.
Een deel van de inleiding stond in The Archimedes Codex van William Noel en Reviel Netz
(bron 5), maar dat was slechts een alinea. Ik moest het dus doen met de vertalingen van
de tekst van Heiberg. Deze bleken ook al niet zo makkelijk te vinden. Uiteindelijk vond ik
in de UB van de UvA een Frans boek Archimède van Charles Mugler (bron 6)met daarin
de Franse vertaling van de Heibergtekst. Omdat mijn Frans niet goed genoeg is bood
mijn moeder aan deze Franse tekst naar het Nederlands te vertalen, wat ik graag
aanvaardde.
Nu had ik een Griekse tekst en een fragmentarische vertaling.
Met behulp van mijn Grieks-­‐Nederlands woordenboek van Charles Hupperts (bron 7),
het Beknopt Grieks-­‐Nederlands woordenboek van Muller en Thiel (bron 8) en De Kleine
Griekse grammatica van Nuchelmans (bron 9) ging ik aan de slag met de vertaling. Dit
ging niet erg soepel, maar het ging tenminste, totdat ik stuitte op een aantal aan mij
vreemde woorden en werkwoordsvormen. Hierbij heb ik hulp gekregen van meneer
Deinema en zijn boeken (bronnen 10+11). Een vreemde uitgang op –θω bleek de
uitgang voor de 3 de persoon enkelvoud imperativus te zijn, een vorm die in de
gebruikelijke Griekse literatuur niet voor komt. Ik heb deze vorm vertaald als een
stellingvorm, wat in de wiskunde veel gebruikt wordt, zoals ‘gegeven:…’, of ‘er moet
zijn:…’.
Van enkele tekstelementen is het mij niet gelukt een goede vertaling te maken. Oorzaken
hiervan zijn het simpelweg ontbreken van tekstelementen (r. 67 t/m 71) of de
complexiteit van een zin. Het is natuurlijk altijd de vraag of alle tekstelementen correct
zijn afgelezen van het voorheen onleesbare manuscript. Van de passage van r. 21 t/m 24
ben ik er niet zeker van dat alle woorden kloppen. Een fatsoenlijke vertaling is er van
deze zin dan ook niet te formuleren.
11

Notities bij de Griekse tekst
-­‐ De blauw gekleurde tekstfragmenten geven de verschillen met de tekst van
Heiberg aan. Deze kunnen in zijn tekst ontbreken of anders zijn.
-­‐ In r. 67 t/m 71 is de tekst fragmentarisch. Hier bevinden zich delen van de tekst
die (nog) niet leesbaar gemaakt konden worden.
-­‐ Ten behoeve van de leesbaarheid van de tekst heb ik alle haakjes die in de
originele Griekse tekst stonden (zie bron 3) weggehaald. De originele tekst heb ik
bijgevoegd in bijlage 1.
-­‐ Het rood gekleurde tekstfragment XB in r. 55 is een fragment waar ik aan twijfel
of het wel correct is. Hierover meer in het hoofdstuk De tekst in detail.
12

5
10
15
20
25
Griekse tekst en vertaling
Τοῦ λεγοµένου στοµαχίου ποικίλαν
ἔχοντος τα ἐξ ὧν συνέστακε
σχηµάτων µεταθέσεως θεωρίαν
ἀναγκαῖον ἡγησάµην πράον πράττον
του ὅλου σχάµατος µέγεθος θεωρῶν
ἐκθέσθαι, εἴς τε ἃ διαιρεῖται,
ἕκαστόν τε αὐτῶν τίνι ἐστὶ ἴσον καὶ
ὁµοιον, ἔτι δὲ καὶ ποῖαι γωνίαι
συνοδοιο λαµβανόµεναι καὶ καθ’ ἃς
εἴρηται πρὸς τὸ τὰς ἐναρµόσεις τῶν
ἐξ αὐτῶν γεννωµένων σχαµάτων
γιγνώσκεσθαι , εἴτε ἐπ’ εὐθείας εἰσὶν
αἱ γεννώµεναι ἐν τοῖς σχάµασι
πλευραί, εἴτε καὶ µικρῶς λιποῦσαι
τᾶι θεωρίαι λανθάνουσιν· τὰ γὰρ
τοιαῦτα φιλότεχνα· καὶ ἐὰν
ἐλάχιστον µὲν λίπηται, τᾶ δὲ θεωρίαι
λανθάνηι, οὐ παρὰ τοῦτ’ ἐστὶν
ἔκβλητα ἃ συνίσταται. ἔστι µὲν οὖν
ἐξ αὐτῶν οὐκ ὀλίγων σχαµάτων
πλῆθος διὰ τὸ εισχεν αυτος εἶναι εἰς
ἕτερον τόπου τοῦ ἴσου καὶ
ἰσογωνίου σχάµατος µετατιθεµένου
καὶ ἑτέραν θέσιν λαµβάνοντος.
Omdat het genoemde Stomachion een
ingewikkelde beschouwing met zich
meebrengt van de verplaatsing van de
vormen waaruit deze is samengesteld,
meende ik (het) noodzakelijk om, terwijl
ik de omvang van de beschouwingen van
de gehele vorm onderzoek, ook (de
delen) waarin hij verdeeld is uiteen te
zetten, en ieder van hen waaraan hij
gelijkvormig en identiek is, en
bovendien worden de hoeken bekend in
welke samenstellingen ze aan elkaar
vastgemaakt worden om de schikking
van deze (vormen) te weten, hetzij dat
de zijden die zichtbaar worden aan de
vormen recht (zijn), hetzij dat ze een
beetje afwijken van de beschouwing
zonder dat iemand het merkt: want
dergelijke dingen zijn kunstig: en als hij
een klein beetje afwijkt, zonder dat het
wordt opgemerkt door de
beschouwingen, kan dat wat gevormd is
niet meer worden afgekeurd. Het is dus
mogelijk dat daaruit een niet gering
aantal vormen wordt gevormd door
naar een andere plaats van een gelijke
en identieke vorm te verplaatsen en een
andere rangschikking te nemen.
13

30
35
40
45
ὅτε δὲ καὶ δύο σχήµατα συνάµφω ἑνὶ
σχήµατι ἴσων ὄντων καὶ ὁµοίων τῶι
ἑνὶ σχήµατι ἢ καὶ δύο σχηµάτων
συνάµφω ἴσων τε καὶ ὅµοιον ὄντων
δυσὶ σχήµασι συνάµφω πλείονα
σχήµατα συνίσταται ἐκτὸς
µεταθέσεως. προγραφόµενον οὖν τι
θεώρηµα εἰς αὐτὸ συντεῖνον.
ἔστω γὰρ παραλληλόγραµµον
ὀρθογώνιον τὸ ΖΓ, καὶ δεδικάσθω ἡ
ΕΖ τῶι Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ
τῶν ΓΕ αἱ ΓΚ ΒΕ δεικτέον µείζων
ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ ἐκβεβλήσθωσαν
αἱ ΓΚ ΒΖ καὶ συµπιπτέτωσαν κατὰ
τὸ Δ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ. ἐπεὶ ἴση
ἐστὶν ἡ ΕΚ τῆι ΚΖ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ
ΓΕ, τουτ τουτέστιν ἡ ΒΖ, τῆι ΖΔ·
ὥστε µείζων ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ· καὶ γωνία
ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΖΔΓ τῆς ὑπὸ τῶν
ΖΓΔ µείζων ἐστίν . ἴσαι δέ εἰσιν αἱ
ὑπὸ ΗΒΔ ΒΓΖ· ἡµίσεια γὰρ ὀρθῆς
ἑκατέρα· µείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν
ΓΖΒ·
En dus wanneer twee vormen samen
gelijkvormig zijn aan één vorm en
congruent aan één vorm zijn, of ook
twee vormen samen gelijkvormig en
congruent zijn aan twee vormen samen,
wordt een groter aantal vormen
samengesteld door de verplaatsing. Als
eerste wordt een of andere stelling
gericht op dit opgeschreven.
Want er moet zijn het rechthoekig
parallellogram ZG, en EZ moet worden
gesneden in K en vanaf G en E moeten
GK en BE worden verbonden, nadat ik
aantoon, (dat) GB is groter is dan BH,
terwijl GK en BZ moeten worden
verlengd en samen moeten vallen in D
en GH moet worden verbonden (met D).
Omdat EK gelijk is aan KZ, en GE gelijk is
aan ZD, dat is BZ, zo is GZ groter dan ZD:
ook is de hoek van ZDG groter dan die
van ZGD. De gelijken (hoeken) HBD en
BGZ zijn elk (van twee) de helft van een
rechte (hoek) en die (is) dus groter dan
GZB.
14

50
55
60
65
70
ἡ γὰρ γὰρ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση ἐστὶ δυσὶ
ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ
ΗΒΔ ΗΔΒ, τῆς ὑπὸ τῶν ΗΓΒ· ὥστε
µείζων ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ. ἐὰν ἄρα
δίχα τµηθῆι ἡ ΓΗ κατὰ Χ , ἔσται ἅµα
λεία µὲν ἡ ὑπὸ ΓΧΒ· ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ
ΓΧ τῆι ΧΒ, καὶ κοινὴ ἡ ΧΒ, δύο
δυσὶν ἴσαι· καὶ βάσεις ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ
µείζων· καὶ ἡ γωνία ἄρα τῆς γωνίας
µείζω µείζων εἰσὶν ἀµβλεῖα µὲν ἄρα
ἡ ὑπὸ ΓΧΒ, ὀξεῖα δὲ ἡ ἐφεξῆς.
ἡµίσεια δὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΓΒΗ·
ἰσοπλεύρου ὑποκειµένου τοῦ
παραλληλογράµµου · ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ
ΒΧΗ. ἡµίσειαι δέ εἰσιν ἴσαιαἱ λοιπαὶ
ΓΒΗ. καὶ συνίσταται καὶ διαιρεῖται
τὸν τρίποντον τόµον. ἔστω γὰρ ἴδιον
διπλασιόπλευρον ὀρθογώνιον ὡς
πρα . . ες τὸ ΑΒ διπλασιαν ἔχοντα
τὴν ΓΑ τῆς ΓΒ διάµετρον ἔχον ἔχον
τὸ παχος . η . . . . . αθ . . . . . πο τα
τ . . . λι . . . µορι . . . . τει δύνασθαι
ἁρµόζειν ὡς εὐθείας τῶν τοµῶν
ἐχουσῶν τάξιν.
Want de hoek GHB is groter dan de hoek
HGB, omdat de hoek GHB gelijk is aan de
som van de binnenste
tegenoverliggende hoeken HBD en HDB,
zodat de lijn GB groter is dan BH.
Als GH in twee gelijke stukken wordt
(af)gesneden door X, zal hoek GXB
stomp zijn. Want omdat GX gelijk is aan
XH, en XB gemeenschappelijk, zijn twee
gelijk aan twee, en is basis GB groter dan
BH, en de ene hoek is dus groter dan de
andere hoek, de hoek GXB is stomp, en
de aanliggende (hoek) scherp: de hoek
GBH is de helft van een rechte (hoek):
omdat het gelijkzijdig parallellogram
hieraan ten grondslag ligt: de hoek BXH
is scherp. GBH is gelijk aan de halve
resterende (hoeken). Hij wordt
bijeengelegd en uit elkaar gehaald in een
driebenig stuk. Er moet een bijzondere
rechthoekige dubbele zijde zijn…
[fragmentarisch]
15

75
80
85
καὶ τετµήσθω ἡ ΓΑ δίχα κατὰ τὸ Ε,
καὶ διὰ τοῦ Ε τῆι ΒΓ παράλληλος
ἤχθω ἡ ΕΖ· ἔστιν οὖν τετράγωνα τὰ
ΓΖ ΖΑ. ἤχθωσαν διάµετροι αἱ ΓΔ
ΒΕ Ε Δ, καὶ τετµήσθωσαν δίχα αἱ
ΓΗ ΕΔ κατὰ τὰ ΘΧ, καὶ
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΘ ΧΖ, καὶ διὰ
τῶν ΟΚ τῆι ΒΔ παράλληλοι
ἤχθωσαν αἱ ΚΛ ΟΞ. διὰ τὸ
προκείµενον ἄρα θεώρηµα τοῦ ΒΓΘ
τριγώνου ἡ πρὸς τῶι Θ γωνία
ἀµβλεῖα, ἡ δὲ λοιπὴ ὀξεῖα. φανερὸν
φανερὸν δὴ ὅτι ὀξεῖά ἐστιν.
Ook moet GA in tweeën gesplitst worden
door E, en EZ moet geleid worden door
E parallel aan BG. Dus GZ en ZA zijn
vierkant. De diagonalen GD, BE en ED
moeten worden getrokken, en nadat GH
en ED moeten in tweeën worden
gesplitst in T en X, en BT en ZX moeten
worden getrokken, en de parallellen KL
en OX moeten worden getrokken door O
en K naar BD. Door de voorliggende
stelling is de hoek T van driehoek BLT
stomp, de overblijvende (hoek) is
scherp. Het is dus overduidelijk dat deze
scherp is.
16

Discussie over de tekst
Archimedes opent met een inleiding waarmee hij het Stomachion introduceert. In de
eerste alinea legt hij uit dat het Stomachion een ingewikkelde figuur is, en dat hij daarom
de verschillende puzzelstukjes zowel apart als in combinatie zal behandelen. Hij kondigt
aan uit te leggen welke hoeken aan elkaar gelijk zijn, om vervolgens de vorm van de
puzzelstukken te kunnen verklaren.
Ook zegt hij dat het belangrijk is nauwkeurig te werken. Het maakt een groot verschil of
de zijden precies goed zijn, of dat ze een beetje afwijken. Als er namelijk sprake is van
een fout in de figuur, kan ‘dat wat gevormd is niet meer worden teruggelegd’. Uit deze
uitspraak maak ik op dat Archimedes doelt op het terugleggen van de puzzelstukken in
het vierkant. Dit is ook de conclusie die Netz en Noel trekken uit de tekst van
Archimedes en op dit punt ben ik het dus met ze eens.
De rest van de inleiding brengt echter wat discussie met zich mee. In de vertaling van
Netz en Noel uit hun boek (bron 5) wordt het woord μετατιθεμένου vertaald met
‘roteren’. Hier zet ik mijn vraagtekens bij. Ik heb namelijk voor dit woord alleen de
vertaling ‘verplaatsen’ kunnen vinden. Het maakt voor de combinatoriek veel uit welke
van de twee interpretaties je gebruikt: ‘roteren’ brengt namelijk veel meer oplossingen
met zich mee dan alleen ‘verplaatsen’. Ik heb de Nederlandse vertaling van het boek De
Archimedes Codex gebruikt, dus deze ietwat te vrije vertaling zou ook gevolg kunnen
zijn van de vertaling van het Engels naar het Nederlands. Dit betwijfel ik echter, omdat
de betekenis significant verschilt en het van de vertaler Boukje Verheij (niet de minste)
wel erg slordig zou zijn. Bovendien wordt na de vertaling nog een aantal keer ‘roteren’
genoemd. Ik vermoed dat het een vrije vertaling is van Netz en Noel zelf. Ik vraag me af
waarom ze het zo vrij vertaald hebben zonder enige discussie of dit wel de juiste
vertaling is. Het zou kunnen dat ze een bepaald idee in hun hoofd hadden over de regels
rondom de puzzel en dat ze vervolgens als het ware naar dat idee toe vertaald hebben.
Afbeelding 3: eerste illustratie volgens Heiberg op basis van de vertaling
17

Na de inleiding begint Archimedes met de uiteenzetting over de puzzelstukken. Hij
begint met een fragment van het Stomachion, namelijk het vierkant BZEG (afbeelding 3)
en breidt dit later uit met een ander vierkant ADZE (afbeelding 4). Archimedes zegt in
zijn tekst letterlijk ‘rechthoekig parallellogram’ en hij zegt dat de hoek die de diagonaal
maakt de helft is van een rechte hoek, en dat het gelijkzijdig parallellogram hieraan ten
grondslag ligt. Hieruit concludeer ik dat Archimedes zeker een vierkant bedoelt. Wat ik
daardoor niet snap is waarom er een figuur in The Archimedes Palimpsest (bron 3) staat
waarbij het geometrische figuur BZEG weliswaar een rechthoek is, maar geen vierkant
(afbeelding 5).
Wat nog meer onduidelijk is, en waar ik zelf eerst ook niet uit kwam, is dat Archimedes
soms over punten en bijbehorende letters begint te spreken, zonder uitleg hoe die tot
stand zijn gekomen. Het grootste gedeelte van de tekst gaat dat nog goed ik kan ik, de
lezer, het nog volgen. Tegen het eind van deze tekst echter, duiken er een aantal letters
op die ik niet meteen kon plaatsen. Dit betreft de letters: Α, Θ, Χ, Ο, Λ en Ξ.
Α, Θ, Ο, Λ en Ξ duiken zomaar op zonder uitleg en de beschrijving van Χ klopt niet meer
met de omschrijving die ervoor werd gegeven. Blijkbaar snapten Netz en Noel het ook
niet helemaal, te zien aan hun figuur (bron 3 en afbeelding 5).
Voor de letters Α, Θ en Χ heeft Heiberg hier wel iets op bedacht (bron 6): Archimedes
gebruikt twee verschillende figuren (afbeeldingen 3 en 4). Hierbij verandert Χ van plaats
en worden Α en Θ verklaard door een uitbreiding van de eerste figuur.
Afbeelding 4: tweede illustratie volgens Heiberg op
basis van de vertaling
Er zijn nog een aantal dingen die niet
kloppen aan de figuur van Netz en Noel.
Archimedes zegt duidelijk: ‘EK gelijk aan
KZ’. Oftewel, GD snijdt EZ precies in het
midden in het punt K. In afbeelding 5 is
dit niet het geval. Ten tweede staat er
ook in de tekst:’(…)GH in twee gelijke
stukken wordt afgesneden door X (…)’. X
ligt dus precies op het midden van
lijnstuk GH en ook dit is niet het geval in
afbeelding 5.
Vervolgens heb ik nog een discussiepunt
over iets dat in de Griekse tekst mogelijk
niet klopt. In regel 53 staat: (…) ἐπεὶ γὰρ
ἴση ἡ ΓΧ τῆι ΧΒ, καὶ κοινὴ ἡ ΧΒ (...). Dit
betekent: (…) want omdat GX gelijk is
aan XB, en XB gemeenschappelijk (…). GX
is echter niet gelijk aan XB, maar aan XH.
Daarom denk ik dat er ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ ΓΧ
τῆι ΧH, καὶ κοινὴ ἡ XB, moet staan.
18

Afbeelding 5: illustratie van Netz en Noel
Tenslotte is mij nog het volgende opgevallen. Afbeelding 4 komt overeen met de
beschrijving die Archimedes in de tekst geeft. Draai je deze figuur een kwart slag naar
rechts, dan wordt het Stomachion zichtbaar, althans iets wat er op lijkt (afbeelding 7).
Alleen zijn dit twee vierkanten naast elkaar, terwijl het Stomachion naar we
veronderstellen uit twee rechthoeken naast elkaar bestaat die samen een vierkant
vormen. In afbeeldingen 6 en 7 is te zien dat de verhoudingen in deze twee figuren niet
overeenkomen.
Afbeelding 6: het vierkante Stomachion Afbeelding 7: afbeelding 4 een kwart slag gedraaid
Voor deze discrepantie is een aantal mogelijkheden te bedenken. Of afbeelding moet een
rechthoek zijn, of afbeelding moet in vierkant zijn. De vraag is alleen, wat is correct?
Stel afbeelding moet een rechthoek zijn. In dat geval kan de fout zitten in (de
interpretatie van) de eerder genoemde Arabische tekst.
In het geval dat afbeelding een vierkant moet zijn kan de fout zitten in (de interpretatie
van) de tekst van Archimedes.
19

Een derde mogelijkheid is dat geen van beide teksten fout (geïnterpreteerd) is, maar dat
er gewoon twee versies van het Stomachion bestaan: een vierkante en een rechthoekige.
We zullen het waarschijnlijk nooit te weten komen.
Het manuscript van het Stomachion is onvolledig: naar het einde toe is het
fragmentarisch en het laatste deel ontbreekt helemaal. Wat het tweede deel van de tekst
aan informatie bevat zullen we dus waarschijnlijk nooit te weten kunnen komen. Aan
bijlagen 1 en 2 is goed te zien hoe bijzonder het is dat we überhaupt iets overgeleverd
gekregen hebben van het Stomachion: de tekst van het gebedenboek is al nauwelijks
leesbaar door schimmel en andere afbraak, laat staan het manuscript van Archimedes!
Het is daarom niet ondenkbaar dat er hier en daar fouten kunnen zitten in de
gereconstrueerde tekst. Ik vind dat we daarom ook voorzichtig moeten zijn met
interpretaties en conclusies die we uit de tekst trekken. Er zijn nog zo veel
onzekerheden! De laatste ontdekkingen en beschouwingen suggereren echter wel dat de
puzzel het Stomachion niet bedoeld is als tangram, maar voor combinatoriek en het
terugleggen van de puzzelstukken in het vierkant. Dit is ook waarvan ik denk dat de
meest waarschijnlijke mogelijkheid is.
20

Combinatoriek
Combinatoriek is een tak van wiskunde waarbij het gaat om het combineren van
bepaalde objecten die aan bepaalde voorwaarden voldoen en vervolgens het tellen van
het aantal verschillende mogelijkheden voor die combinaties. Er wordt onderscheidt
gemaakt tussen combinaties en permutaties.
Naam Volgorde van objecten Voorbeeld
Combinaties Niet van belang ABC = CAB
Permutaties Wel van belang ABC CAB
Verder is met of zonder terugleggen van belang. Het gaat er hierbij om of de
verschillende objecten meerdere malen gebruikt mogen worden.
Vaak wordt als voorbeeld het vaasmodel gebruikt. Hierbij zitten een aantal knikkers in
verschillende kleuren in een vaas. Uit deze vaas wordt een of meerdere keren een
knikker getrokken. Je kunt dan de kans berekenen dat de persoon een bepaalde kleur
trekt (bron 22).
Combinatoriek bij het Stomachion
Het Stomachion is uiteraard moeilijk te vergelijken met een vaas met knikkers. Achter
het aantal mogelijkheden om de puzzel weer terug in het vierkant te krijgen zit een
lastige wiskundige berekening. De Amerikaanse wiskundige en systeemanalist Bill
Cutler heeft zich over dit probleem gebogen (bronnen 23, 24 en 25). Hij gebruikte een
computer om het aantal oplossingen te berekenen. Hierbij sloot hij rotaties en
spiegelingen van de puzzelstukken uit. Van belang is te weten dat de stukken 1&2, 9&10
en 11&12 bij elke oplossing naast elkaar liggen (zie afbeelding 8). Bovendien komen de
stukken 6 en 7 in deze figuur allebei twee maal voor, waarmee het aantal oplossingen
gereduceerd wordt.
Afbeelding 8: de stukken genummerd
21

Hoekensommen
Bernd Karl Rennhak (bron 27) heeft van alle puzzelstukken van een vereenvoudigde
versie van het Stomachion (afbeelding 9) de hoeken beschreven. Bij deze
vereenvoudigde weergave heeft hij de hierboven genoemde stukken 1&2, 9&10 en
11&12 samengenomen. Hierdoor en doordat er enkele stukken dubbel voorkomen
blijven er acht verschillende puzzelstukken over.
Bij zijn berekeningen heeft hij gebruik gemaakt van een vaste hoek λ. Deze hoek is als
volgt gedefinieerd. Het is de kleinste hoek die vormt gemaakt als de diagonaal van twee
identieke vierkanten getrokken wordt (afbeelding 10).
Afbeelding 9: vereenvoudigde versie van het
Stomachion
Er blijkt:
de verhouding van de zijdes van de driehoek GHL (afbeelding 11) is: GH:HL = 1:2
tan(λ) = GH/HL = ½ dus
λ = arctan(1/2) = 26, 57°.
Afbeelding 11: eerste illustratie bij de hoek labda Afbeelding 10: tweede illustratie bij de hoek labda
De hoekensommen van alle acht verschillende puzzelstukken zijn uit te drukken in deze
hoek λ, 90°, 45°, 180° en combinaties hiervan. Zou je de puzzelstukken 1&2, 9&10 en
11&12 niet samennemen, dan zouden niet alle hoekensommen uit te drukken zijn in
deze getallen. Door dit wel te doen wordt de berekening en redenering iets eenvoudiger.
22

Puzzelstuk
(afbeelding 9)
Oppervlakte Hoekensom Opmerkingen
A 24 + 3 90° + 90° + (90° + λ) + (90° – λ) -­‐Twee
samengevoegde
puzzelstukken
B 12 + 12 45° + λ + (135° -­‐ λ) -­‐Twee
samengevoegde
puzzelstukken
C 3 + 6 90° + λ + (90° -­‐ λ) -­‐Twee
samengevoegde
puzzelstukken
-­‐Komt twee keer
voor
D 6 (135° -­‐ λ) + 2λ + (45° -­‐ λ)
E 12 λ + 135° + (45° + λ) + (180° – 2λ)
F 6 λ + 45° + (135° -­‐ λ) -­‐Komt twee keer
voor
G 12 45° + (90° -­‐ λ) + (45° -­‐ λ) -­‐Komt twee keer
voor
H 21 90° + 90° + 135° + (180° -­‐ λ) + (45° + λ) -­‐Pentagon
Uitleg bij de hoeksommen
A (afbeelding 12):
-­‐ De hoeken ABC en CBA zijn rechte hoeken, dat is gegeven.
-­‐ Verleng je zijden AB en CD en verbind je H en G zodat de vierkanten AHGI en
DFIG ontstaan, wordt zichtbaar dat er twee hoeken λ voorkomen in de figuur.
Hieruit volgt dat hoek BAD = 90° -­‐ λ, en hoek CDA = 90° + λ.
Afbeelding 12: puzzelstuk A
Afbeelding 13: puzzelstuk B
B (afbeelding 13):
-­‐ Hoek ABH = CAB = 45°, omdat AD de diagonaal is van het roostervierkant.
-­‐ Teken je de vierkanten BEGH en CFEG met BC als diagonaal van deze twee
vierkanten, dan blijkt dat hoek BCA = λ en dat hoek ABC = 135° – λ.
23

C (afbeelding 14):
-­‐ Hoek BAC = 90°, dat is gegeven.
-­‐ Teken je de vierkanten ABEG en GEFC, dan
blijkt dat hoek ACB = λ, en dat hoek CBE = λ,
waaruit volgt dat hoek ABC = 90° – λ.
D (afbeelding 15): teken je de acht kleinere vierkanten, dan blijken de volgende hoeken.
-­‐ Hoek KCA = hoek ACH = 45°, hoek BCA = λ, dus hoek ACB = 45° – λ.
-­‐ Hoek DAB = λ, waaruit volgt dat CAB = 135° – λ.
-­‐ Hoek GBA = GBC = λ, dus hoek ABC = 2λ.
Afbeelding 15: puzzelstuk D
Afbeelding 14: puzzelstuk C
24

E (afbeelding 16): teken je de zes kleinere vierkant en het grote vierkant, te zien in de
figuur, dan blijken de volgende hoeken.
-­‐ Hoek DAB = λ.
-­‐ Hoek ABC = 135°.
-­‐ Omdat hoek KDA = JDC = λ, is hoek ADC = 180° – 2λ.
-­‐ Uit het feit dat hoek DCL = λ volgt dat hoek DCB = 45° + λ.
Afbeelding 16: puzzelstuk E
F (afbeelding 17): teken je de vijf
kleine vierkanten te zien in de figuur
blijkt het volgende.
-­‐ Hoek BAC = 45°.
-­‐ Hoek ABC = λ.
-­‐ Omdat hoek DCB = λ, is hoek
ACB = 135° -­‐ λ.
G (afbeelding 18): teken de vijf kleinere vierkanten in de figuur en er blijkt het volgende.
-­‐ Hoek ABC = 45°.
-­‐ Omdat hoek DAC = λ, is hoek BAC = 90° – λ.
-­‐ Hoek ACL = λ, dus hoek ACB = 45° + λ.
Afbeelding 18: puzzelstuk G
Afbeelding 17: puzzelstuk F
25

H (afbeelding 19):
-­‐ Hoek DEA = hoek BAE = 90°, dat is gegeven.
-­‐ Hoek HBJ = 45°, dus Hoek ABC = 135°.
-­‐ Omdat hoek CDF = λ, is hoek CDE = 180° – λ
-­‐ Hoek DCG = λ, dus hoek BCE = 45° + λ.
Afbeelding 19: puzzelstuk H
26

Oppervlakten
De oppervlakte van ieder puzzelstuk in een 12x12 vierkant is gegeven door de formule
(bron 29 en afbeelding 20):
A = I + (B/2) -­‐1
Hierin is:
A: het aantal roostervierkantjes
I: het aantal binnenliggende roosterpunten ( o )
B: het aantal grensroosterpunten ( o )
Uit bron 28 blijkt dat wanneer je meerdere veelhoeken in een vierkant rooster, in dit
geval 12x12, wil passen, de verhouding tussen de oppervlakten van de puzzelstukken
altijd een geheel getal moet zijn, in dit geval is dat 3.
Uit deze gegevens blijkt het volgende voor de verschillende puzzelstukken.
Puzzelstuk
afbeelding 20
Berekening oppervlakte Uitkomst = I + (B/2) -­‐1 Uitkomst/3
A 5 + (16/2) -­‐1 12 4
B 7 + (12/2) -­‐1 12 4
C 9 + (8/2) -­‐1 12 4
D 4 + (6/2) -­‐1 6 2
E 0 + (8/2) -­‐1 3 1
F 13 + (18/2) -­‐1 21 7
G 2 + (10/2) -­‐1 6 2
H 7 + (12/2) -­‐1 12 4
I 2 + (10/2) -­‐1 6 2
J 7 + (12/2) -­‐1 12 4
K 3 + (18/2) -­‐1 6 2
L 4 + (12/2) -­‐1 9 3
M 1 + (6/2) -­‐1 6 2
N 18 + (14/2) -­‐1 24 8
Afbeelding 20: oppervlaktepuntjes
in het Stomachion
27

Conclusie
Archimedes en combinatoriek
Omdat alle hoekensommen van de puzzelstukken uit te drukken zijn in λ valt na te gaan
welke stukken complementair zijn en welke niet. Dit gegeven gecombineerd met de
formules voor de oppervlakten heeft Cutler waarschijnlijk gebruikt om het aantal
mogelijkheden te berekenen. Door een algoritme in een computer in te voeren is hij
uitgekomen op 536 oplossingen.
Sluit je rotaties en spiegelingen niet uit bij de berekening, dan blijken er 17.152
combinaties mogelijk te zijn (bron 24). Hieruit blijkt dat het zeer veel uit maakt welke
beperkingen je stelt aan de verplaatsingen van de puzzelstukken.
De vraag is natuurlijk of Archimedes destijds op de hoogte was van combinatoriek. Hij
kan namelijk ook zonder de wiskunde op 536 (of 17.152) mogelijkheden zijn
uitgekomen, door gewoonweg te puzzelen.
Zoals Netz en Noel in hun boek (bron 5) beschrijven werd algemeen aangenomen dat
rekenkundige problemen met betrekking tot combinatiemogelijkheden tot aan de
zeventiende eeuw geen belangrijk deel uitmaakten van de wiskunde. Volgens
overleveringen hield alleen de Griekse astronoom Hipparchus (ca. 190 v. Chr – 120 v.
Chr.) zich voor die tijd bezig met combinatoriek. Dit blijkt uit een vermelding van de
Griekse schrijver Plutarchus waarin Hipparchus een discussie aangaat met de Griekse
filosoof Chrysippus over het aantal combinaties die te vormen zijn met tien beweringen.
Chrysippus dacht dat het antwoord 1 miljoen was, maar Hipparchus bleek het bij het
rechte eind te hebben, wat bleek toen er in de periode 1994-­‐2002 onderzoek naar werd
gedaan. Wiskundigen kwamen er, net als Hipparchus op uit dat er of 103.049 of 310.954
mogelijkheden waren, afhankelijk van de condities.
Hipparchus was jonger dan Archimedes dus het is goed mogelijk dat Archimedes de
basis van de combinatoriek legde waar Hipparchus vervolgens op voortgebouwd heeft.
Dit zou een belangrijke ontdekking zijn en ons beeld van de Oudgriekse wiskunde
positief veranderen.
De tekst en de wiskunde
Omdat de tekst van het Stomachion onvolledig is, is het lastig te zeggen waar
Archimedes met zijn wiskundige beschrijving heen wil. Het belangrijkste probleem is
dat de figuur die Archimedes beschrijft niet overeenkomt met de figuur waaruit door
meerdere auteurs conclusies getrokken zijn.
De stelligheid waarmee Netz en Noel het Stomachion interpreteren als een vierkante
puzzel waarvan het de bedoeling is dat er verschillende mogelijkheden worden bedacht
om de puzzelstukken weer in dat vierkant te krijgen, kan ik niet onderschrijven. Naar
mijn mening toont onderzoek naar de teksten en de figuren aan dat lang nog niet alles is
ontdekt en opgehelderd. Bovendien is het nog helemaal niet zeker dat het Stomachion
dat Archimedes beschrijft een vierkant is. Zoals al eerder genoemd heeft Archimedes het
in zijn tekst over twee vierkanten, die samen een rechthoek vormen. Echter voorheen is
men altijd uitgegaan van de vierkante versie van het Stomachion, maar daar heeft
Archimedes het helemaal niet over. De vierkante versie van het Stomachion is niet per
se fout, maar we moeten er rekening mee houden dat een Stomachion elke vorm van een
rechthoek kan zijn.
Met enige zekerheid kunnen we er van uit gaan dat Archimedes zich bezighield met
combinatoriek, want dat blijkt uit zijn tekst.
28

Bronvermelding
1. Tekst Heiberg December 2012
http://www.hsaugsburg.de/~harsch/graeca/Chronologia/S_ante03/Archimedes/arc_ost3.html
2. Gerestaureerde tekst, December 2012
http://4umi.com/play/Stomachion/text.php
3. Reviel Netz, William Noel, Nigel Wilson & Natalie Tchernetska, The Archimedes Palimpsest
Deel II, Cambridge University Press 2011
4. http://www.archimedespalimpsest.org/ December 2012
5. Reviel Netz & William Noel, De Archimedes Codex, Athenaeum-­‐Polak & Van Gennep,
Amsterdam 2007
6. Charles Mugler, Archimède, Société d’édition < Les Belles Lettres >, Parijs 1971
7. Charles Hupperts, Grieks-­‐Nederlands woordenboek, Eisma Edumedia BV, Leeuwarden 2008
8. Dr. Fred. Muller & Dr. J.H. Thiel, Beknopt Grieks-­‐Nederlands Woordenboek, Wolters-­‐Noordhoff
NV, Groningen 1969
9. Dr. J. Nuchelmans, De Kleine Griekse grammatica, Paul Brand, Nijmegen 1999
10. Henry George Liddell, Robert Scott, Henry Stuart Jones, Greek-­‐English Lexicon, Oxford
University Press, Oxford, reprint 1953
11. Raphael Kühner, Ausführliche Grammatik der griechischen Sprache, Verlag Hannover
Buchhandlung, Hannover 1966
12. M. Huig & D.F. Lunsingh Scheurleer jr., De klassieke oudheid, Aula-­‐eeuwboeken I, Het
Spectrum, Utrecht 1994
13. http://nl.wikipedia.org/wiki/Archimedes Januari 2013
14. http://en.wikipedia.org/wiki/Names_of_large_numbers Januari 2013
15. http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes Januari 2013
16. http://www.wiskundeweb.nl/Wiskundegeschiedenis/Wiskundigen/Archimedes.html
Januari 2013
17. http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/inside-­‐archimedes-­‐palimpsest.html Januari 2013
18. http://www.archimedespalimpsest.org/imaging_experimental4.html Januari 2013
19. http://nl.wikipedia.org/wiki/Synchrotronstraling Januari 2013
20. Canadian Conservation Institute, Gregory Young, Effect of high flux x-­‐radiation on parchment,
report no. Proteus 92195, 27 augustus 2005, in opdracht van Abigail Quandt, Walters Art
Museum Baltimore, Maryland
21. http://nl.wikipedia.org/wiki/Combinatoriek Januari 2013
22. 5VWO-­‐wiskunde B 2011-­‐2012, Keuzeonderwerp Kansrekening
23. http://www.barbecuejoe.com/Stomachion.htm Januari 2013
24.
http://www.math.cornell.edu/~mec/GeometricDissections/1.2%20Archimedes%20Stomachio
n.html Januari 2013
25. http://en.wikipedia.org/wiki/Bill_Cutler Februari 2013
26. http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_11_17_03.html
Februari 2013
27. http://www.logelium.de/Stomachion/StomachionHaupt_EN.htm Februari 2013
28. http://mathworld.wolfram.com/Stomachion.html Februari 2013
29. http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Stomachion/Pick.html Februari 2013
29

Bijlage 1: De Griekse tekst zichtbaar gemaakt
http://4umi.com/play/Stomachion/text.php
30

ἈΡΧ ΙΜΉΔΟ Υ Σ ΣΤΟΜΆ ΧI ΟΝ Τοῦ λεγοµένου στοµαχίου ποικί λαν ἔχοντος
τα ἐξ ὧν συνέστακε σχηµάτων µεταθέσεως θεωρία θεωρ ί αν ἀναγκαῖον
ἡγησάµην πράον πράττον του ὅλο υ σ χάµ ατ ος µέγε θ ος θεω ρῶν ἐκθέσθαι, ε
ἴς τ ε ἃ διαιρεῖται, ἕκαστόν τε α ὐτ ῶν τίνι ἐστὶ ἴσον καὶ ὁ µ οι ον , ἔτι δὲ καὶ πο ῖ
αι γ ωνίαι συ νοδοιο λαµβανόµ εναι καὶ κ α θ’ ἃς εἴρηται πρὸς τὸ τ ὰ ς ἐνα ρ
µόσεις τῶν ἐξ αὐτῶν γεννωµένων σχα µ άτων γ ιγνώσκεσθαι , ε ἴ τε ἐπ’ εὐ θείας
εἰσὶν αἱ γεννώµεναι ἐν τ οῖ ς σχάµασι πλευραί, εἴτε καὶ µικρῶς λιποῦσαι τᾶι
θεωρίαι λανθά νουσιν· τὰ γὰρ τοιαῦτα φιλότεχνα· καὶ ἐὰν ἐλάχιστον µὲν
λίπηται, τᾶ δ ὲ θεωρίαι λανθάνηι, οὐ παρὰ τοῦ τ’ ἐστὶν ἔκβλητα ἃ συνίσταται.
ἔστι µὲν οὖν ἐξ αὐτῶν οὐκ ὀλίγων σχαµάτ σχ α µάτων
31

πλῆθος διὰ τὸ ει σ χεν α υ το ς εἶν αι εἰς ἕτερον τόπου τ οῦ ἴσου καὶ ἰσο γωνίου
σχάµατος µετατιθεµέν µετατιθεµένου καὶ ἑ τ έραν θέσιν λαµβ ά νοντος . ὅ τε δὲ καὶ
δύο σχήµατα συνάµφω ἑνὶ σχήµατι ἴσων ὄντων καὶ ὁµοί ων τῶ ι ἑνὶ σχήµατι ἢ καὶ δύο
σχη µάτων συνάµφω ἴσων τε καὶ ὅµοι ον ὄντων δυσὶ σχήµασι συνάµφω πλείονα
σχήµα τ α συνίσταται ἐ κτὸς µ ετ αθέσεως . προγραφόµε νον οὖν τι θεώρηµα εἰς αὐτὸ
συ ν τεῖ νον. ἔστω γὰρ παραλληλ ό γρα µ µον ὀρθογώνιον τὸ Ζ Γ, καὶ δεδι κ ά σ θω ἡ
ΕΖ τῶ ι Κ, καὶ ἐ π ε ζεύχθω σ α ν ἀπὸ τῶν ΓΕ αἱ ΓΚ ΒΕ δεικτέον µ εί ζων ἐστὶν ἡ ΓΒ
τῆς ΒΗ ἐκβεβλήσ θ ω σαν αἱ ΓΚ ΒΖ καὶ συµπιπτέ τωσαν κατ ὰ τὸ Δ καὶ ἐ π εζεύχθω ἡ
ΓΗ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΚ τῆι ΚΖ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ΓΕ, τουτ τουτέστιν ἡ ΒΖ, τῆι ΖΔ· ὥ στ
ε µείζω ν ἡ Γ Ζ τ ῆς Ζ Δ· καὶ γωνί α ἄρα ἡ ὑπὸ τ ῶν ΖΔΓ τῆς ὑπὸ τῶν ΖΓΔ µ εί ζων
ἐστίν . ἴσα ι δέ εἰσιν αἱ ὑπὸ ΗΒΔ ΒΓΖ· ἡ µ ί σει α γ ὰρ ὀ ρ θῆς ἑκατέρα· µεί ζων ἄρα
καὶ ἡ ὑπὸ τ ῶν Γ Ζ Β· ἡ γὰρ γὰρ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐν τ ὸς καὶ ἀπεναντίον
ταῖς ὑ πὸ ΗΒΔ ΗΔΒ, τῆς ὑπὸ τῶν ΗΓΒ· ὥστε µείζων ἐστὶν ἡ Γ Β τῆς ΒΗ. ἐὰν ἄρα δίχα
τµη θῆι ἡ ΓΗ κατὰ Χ , ἔσται ἅµ α λεία µ µὲν ἡ ὑπὸ ΓΧΒ· ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ ΓΧ τῆι ΧΒ,
καὶ κοινὴ ἡ ΧΒ, δύο δ υσὶν ἴσαι· καὶ βά σ ε ι ς ἡ ΓΒ τῆς ΒΗ µείζων· καὶ ἡ γωνία ἄρα
τῆς γωνίας µείζω µείζων εἰσὶν ἀµβλεῖα µὲν ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΧΒ, ὀξεῖ α δὲ ἡ ἐφεξῆς.
ἡµίσεια δ ὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΓΒΗ· ἰσ ο πλε ύρο υ ὑποκειµέ νο υ τοῦ παραλλη λ ογράµµου ·
ὀξεῖ α δὲ ἡ ὑπὸ ΒΧΗ. ἡµ ί σειαι δ έ εἰσιν ἴσ αι αἱ λοιπαὶ ΓΒΗ. καὶ συνίστ α τ α ι καὶ
διαιρεῖται τὸ ν τρ ί ποντο ν τόµ. τ ό µ ον. ἔστω γ ὰ ρ ἴδιον διπλασιόπ λευ ρ ο ν ὀρ
θογώνιον ὡ ς πρα ες τὸ Α Β δ ιπλα σιαν ἔχοντα τὴν ΓΑ τῆς ΓΒ διά µετρον ἔχον ἔχον
τὸ παχοσ η αθ πο τα τ λι µορι τει δύνασθαι ἁρµόζειν ὡς εὐθεί εὐθεί ας τῶ ν τοµῶν
ἐχουσῶν τάξιν. καὶ τ ε τµ ή σθω ἡ ΓΑ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ δι ὰ τοῦ Ε τῆι ΒΓ
παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ· ἔστιν οὖν τετράγωνα τὰ ΓΖ ΖΑ. ἤχθωσαν διάµετροι αἱ ΓΔ ΒΕ
Ε Δ, καὶ τετ µ ήσθωσαν δίχα αἱ ΓΗ Ε Δ κατὰ τὰ ΘΧ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΘ ΧΖ, καὶ
διὰ τῶν Ο Κ τῆι ΒΔ πα ράλληλοι ἤχθωσαν αἱ Κ Λ Ο Ξ. δι ὰ τὸ προκείµενον ἄρα
θεώρηµα το ῦ ΒΓΘ τριγώνου ἡ πρὸς τ ῶι Θ γ ωνία ἀµβλεῖα, ἡ δὲ λοιπὴ ὀξεῖ α . φα
νερὸν φανερὸν δὴ ὅτι ὀ ξ εῖ ά ἐσ τι ν .
33

Bijlage 2: Het onleesbare manuscript
http://4umi.com/play/Stomachion/text.php
34

Bijlage 3: Engelse vertaling van de Arabische tekst
http://www.hs-­‐
augsburg.de/~harsch/graeca/Chronologia/S_ante03/Archimedes/arc_ost2.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Ostomachion
We draw a [rectangular] parallelogram ABGD, we bisect BG in E and draw EZ
perpendicular to BG [to intersect AD], we draw the diagonals AG, BZ [intersecting AG at
L], and ZG, we also bisect BE in H, and draw HT perpendicular to BE [to intersect BZ],
then we put the ruler at point H and -­‐ looking to point A -­‐ we draw HK [to intersect BZ],
then bisect AL in M, and draw BM. So the A-­‐E rectangle is divided into seven parts. Now
we bisect DG in N, ZG in C, we draw EC and attaching the ruler to the points B and C we
draw CO [to intersect DG], furthermore CN. Thus the rectangle ZG is also divided in
seven parts, but in another way than the first one. Therefore, the whole square has
fourteen parts.
We now demonstrate that each of the fourteen parts is in rational relationship to the
whole square.
Because ZG is the diagonal of the rectangle Z-­‐G, the triangle DZG is half of this rectangle,
that means 1/4 of the square. But the triangle GNC is 1/4 of triangle DZG, because, if we
extend the line EC, it comes to point D, and that means triangle GDC has half area of the
triangle DZG and is equal to the two triangles GNC and DNC taken together; that means
triangle GNC is 1/16 of the square. If we presume that line OC is orientated to point B, as
we have drawn it before, so the line NC is parallel to BG, which is the side of the square
and of the triangle OBG, so we get the proportion
BG : NC = GO : NO.
But BG is four times NC, and in the same way GO four times NO; therefore is GN three
times NO, and triangle GNC = 3 ONC. However, as we have shown, triangle GNC is 1/16
of the square, that means triangle ONC = 1/48 of the square. Furthermore, as triangle
GDZ = 1/4 of the square, and therefore GNC = 1/16 of that triangle and NCO = 1/48 of
that, it remains for the quadrilateral DOCZ = 1/6 of the square’s area. According to the
proposition that line NC [extended] intersects [ZE at] point F, and GE is parallel to CF,
[and labelling the intersection of AG and CE as Q,] we get the proportion
EC : CF = EQ : CQ = GQ : FQ.
Because EQ = 2 CQ and GQ = 2 FQ, triangle EQG is double to the two triangles GCQ and
EFQ. It is clear, that triangle EGZ = 2 times triangle EFG, because ZE = 2 FE. As the
triangle EGZ = 1/4 of the square, that means triangle EFG = 1/8 of the square. This
triangle is three times as big as each of the two triangles EFQ and GCQ, so each of these
36

two triangles = 1/24 of the square A-­‐G. And the triangle EGQ is double to each of the two
triangles EFQ and GCQ, so it is = 1/12 of the square. Furthermore because ZF = EF,
triangle ZFG = triangle EFG. If we now take away triangle GCQ (= triangle EFQ), it leaves
quadrilateral FQCZ (= triangle EGQ), therefore quadrilateral FQCZ = 1/12 of the square
A-­‐G.
If an Ostomachion were to be imposed onto a 12-­‐unit square, this diagram shows the
area of each piece.
We have now divided the rectangle Z-­‐G in 7 parts, and go on to divide the other
rectangle.
Because BZ and EC are two parallel diagonals, and ZF = EF, therefore triangle ZLF = EFQ,
and also triangle ZLF = 1/24 of the square A-­‐G. Because BH = HE, triangle BEZ is four
times the triangle BHT, because each of them is rectangular. As triangle BEZ = 1/4 of the
square ABGD, triangle BHT = 1/16 of that. According to our proposition the line HK
[extended] intersects point A, so we get the proportion
AB : HT = BK : KT.
Because AB = 2 HT, and BK = 2 KT and BT = 3 KT, triangle BHT is three times the triangle
KHT. However, because triangle BHT = 1/16 of the whole square, triangle KHT = 1/48 of
that. Triangle BKH is double the triangle KHT, so = 1/24 of the square. Further, as BL = 2
ZL, and AL = 2 LF, triangle ABL is twice the triangle ALZ, and ALZ double the triangle
ZLF. However, because triangle ZLF = 1/24 of the whole square, triangle ALZ = 1/12 of
that, so triangle ABL = 1/6. But triangle ABM = triangle BML, so each of these two
triangles = 1/12 of the square. It leaves the pentagon LFEHT = 7/48 of the entire square.
We have now also divided the square AE into 7 sections, therefore, the whole figure
ABGD in 14 parts. Each of these fourteen parts is in rational relationship to the whole,
and that is what we wanted."
37