De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

Inhoudsopgave
Inleiding 1
Onderzoeksvragen 3
1. Reguliere polygonen en polyhedra 5
§1.1 polygonen 5
§1.2 polyhedra 6
§1.3 de formule van Euler in 3 dimensies 9
§1.4 de formule van Euler in reguliere polyhedra 10
§1.5 de formule van Descartes 11
§1.6 vertexfiguren 12
§1.7 quasi-reguliere polyhedra 13
2. Tegelingen en honingraten 15
§2.1 tegelingen 15
§2.2 honingraten 16
§2.2.1 quasi-reguliere honingraten 17
§2.2.2 semi-reguliere honingraten 17
§2.3 formule van Euler in honingraten en 4 dimensies 18
3. Introductie tot 4 dimensies 20
§3.1 dimensionale analogie 20
§3.2 flatland 20
§3.3 Euclidische ruimte in 4 dimensies 22
4. Projectie 24
§4.1 projectie in het algemeen 24
§4.2 projectie in 2 en 3 dimensies 24
§4.3 projectie in 4 en hogere dimensies 25
5. Doorsnede van een hyperkubus 26
§5.1 indexeren van vlakken en hypervlakken 26
§5.2 indexeren van punten 28
§5.3 het lijn-object 29
§5.4 algoritme voor het vinden van eerste snijvlak met x4 = 0 29
§5.5 algoritme voor het vinden van het aangrenzende vlak 31
§5.6 algoritme voor het vinden van het volgende snijpunt 31

6. Rotatie in 4 dimensies 34
§6.1 introductie tot matrices 34
§6.2 rotatiematrices 35
7. Polytopen in 4 en hogere dimensies 36
§7.1 polychora 36
§7.2 vertexfiguren bij polychora 36
§7.3 de vertexfiguren van een hyperkubus 37
§7.4 reguliere polychora 38
§7.5 het aantal reguliere polychora 39
§7.6 polytopen in dimensie n 39
§7.7 regulariteit bij polytopen in dimensie n 40
§7.8 families reguliere polytopen 40
§7.8.1 de simplex 40
§7.8.2 de kruispolytoop 41
§7.8.3 de hyperkubus 42
8. Gegeneraliseerde formule van Euler 43
§8.1 formule van Euler in elke dimensie 43
§8.2 gegeneraliseerde formule van Euler in families reguliere polytopen 43
§8.2.1 de simplex 43
§8.2.2 de kruispolytoop 44
§8.2.3 de hyperkubus 44
§8.3 het incidentiegetal 45
§8.4 k-ketens 46
§8.5 k-ketens als vectoren 47
§8.6 rang 48
§8.7 de rang van een incidentiematrix 49
§8.8 bewijs van de gegeneraliseerde formule van Euler 49
Samenvatting en conclusie 51
Reflectie 55
Bronvermelding 56
Logboek 58
Bijlagen 60

Inleiding
Het bestuderen van meetkunde in 4 en hogere dimensies is een relatief nieuw gebied in de
wiskunde. Ludwig Schläfli wordt, samen met Bernhard Riemann en Arthur Cayley, vaak gezien als de
grondlegger van hoger-dimensionale meetkunde. De belangrijkste bijdrage van Schläfli was het
beschrijven van alle reguliere polytopen in 4 dimensies. Daarnaast is hij de bedenker van het Schläflisymbool,
waarmee polytopen in elke dimensie vrij simpel genoteerd kunnen worden. Ondanks dat
hogere dimensies pas vanaf het begin van de 19 e eeuw als een serieus gebied van de wiskunde
worden beschouwd, zijn er vele referenties van voor die tijd naar hogere dimensies (waarvan de
meeste van filosofen afkomstig zijn).
De lijn heeft een grootte in één richting, het vlak in twee richtingen, en een lichaam in drie richtingen,
en verder dan deze is er geen richting omdat deze drie alle richtingen zijn. 1
De bewonderenswaardige Ptolemaeus heeft bewezen dat er niet meer dan drie afstanden zijn,
vanwege de noodzakelijkheid dat afstanden gedefinieerd moeten worden, en dat afstanden bepaald
moeten worden met behulp van drie loodrechte lijnen, en omdat het maar mogelijk om drie
onderling loodrechte lijnen te nemen, twee om waarmee het vlak is gedefinieerd en een derde om
diepte te meten; zo dat als er enig andere afstand zou zijn deze volledig zonder betekenis en definitie
zou zijn. 2
In het klassieke Griekenland werd een nummer beschouwd als een lijn, het product van twee
getallen werd beschouwd als een vlak en het product van drie getallen als een lichaam. Toen het
noodzakelijk werd om meer dan 3 getallen te vermenigvuldigen, werden termen als vlak-vlak en
vlak-lichaam geïntroduceerd. Hiernaast verhinderde de meetkundige benadering van vergelijkingen
klassieke wiskundigen ervan zich te wagen aan vergelijkingen met vier of meer variabelen, omdat
deze beschouwd werden als onwerkelijk. Toen deze vergelijkingen niet meer te vermijden waren,
betekende dit een ‘onmogelijke’ uitbreiding van het toenmalige geometrisch begrip.
In de hedendaagse wiskunde heeft hoger- dimensionale meetkunde vele toepassingen, waaronder in
de statistiek, de mathematische fysica en complexe analyse. Aangezien van een complexe functie
zowel de afhankelijke als de onafhankelijk variabele een complex getal is met zowel een reëel als
een imaginair deel, zijn er vier dimensies nodig om een grafiek van deze functie te plotten. Om de
eigenschappen van deze grafiek te bestuderen, kan er gebruik worden gemaakt van vierdimensionale
meetkunde.
Wij zullen in dit onderzoek niet al te diep ingaan op de meetkunde van vier dimensies, maar wij
zullen wel begrip proberen te kweken van wat hoger-dimensionale ruimte precies inhoudt. Waar wij
wel dieper op in zullen gaan zijn reguliere polytopen in vier dimensies, wat de analogen zijn van
polygonen en polyhedra in respectievelijk twee en drie dimensies. Na het onderzoeken van deze
polytopen, inclusief generalisaties hiervan die gelden voor elke dimensie, zullen wij op zoek gaan
naar een patroon in het aantal lager-dimensionale polytopen dat een polytoop in een bepaalde
dimensie n bevat.
1 Citaat van Aristoteles (384 tot 322 v.Chr.), 2 Citaat van Simplicius (6 e eeuw na Christus)
Beide citaten zijn verkorte vertalingen vanuit Manning, Geometry of four dimensions, blz. 1
Inleiding
1

We hebben voor dit onderwerp gekozen omdat we de 4 e dimensie allebei een fascinerend
onderwerp vinden, en erg benieuwd waren naar de manieren waarop wij als driedimensionale
wezens de 4 e dimensie kunnen bevatten of zelfs weergegeven in drie dimensies. Daarnaast zijn we
van mening dat polyhedra al een bepaalde mysterie en schoonheid hebben, en we wilden graag
weten hoe hoger-dimensionale polytopen in elkaar steken.
Om ons onderzoek iets meer richting te geven, hebben we advies gevraagd van prof. dr. E.J.N.
Looijenga, die hoogleraar is aan de universiteit Utrecht. Hij heeft ons met name geadviseerd om ons
meer te focussen op de formule van Euler, en die tip heeft ons profielwerkstuk naar onze mening erg
goed gedaan.
We hebben geprobeerd om voor elk nieuw concept dat we in hogere dimensies introduceren, eerst
nog eens duidelijk na te gaan hoe dit concept in lagere dimensies werkt. Hierdoor kan het soms
misschien lijken alsof we dingen herhalen die al bij iedereen bekend zijn, maar dit is noodzakelijk om
de vaak veel lastigere concepten in hogere dimensies goed te kunnen doorzien.
Inleiding
2

Onderzoeksvragen
Voor dit onderzoek stellen de vraag: Wat voor regelmaat is er te ontdekken in het aantal
deelpolytopen in reguliere polytopen van elke dimensie? We zullen eerst polygonen en polyhedra
behandelen. Dit doen we om begrip te krijgen van de fundamentele eigenschappen van polytopen,
om deze later door te kunnen trekken naar hogere dimensies. Daarna zullen we een simpele definitie
geven van regulariteit, en er wordt uitgelegd waarom deze definitie alle ‘verwachte’ eigenschappen
van regulariteit met zich meebrengt. Vervolgens gaan we de formule van Euler bewijzen, welke een
verband legt tussen het aantal vertices, ribben en grensvlakken van een polyhedron.
Na een begrip te hebben ontwikkeld van polygonen en polyhedra, zullen we ingaan op tegelingen en
honingraten. Tegelingen zijn oneindige vlakken gevuld met precies in elkaar passende polygonen,
honingraten zijn oneindige ruimten gevuld met precies in elkaar passende polyhedra. Honingraten
zijn een goede overbrugging van polyhedra naar polytopen in hogere dimensies, omdat deze
eigenschappen hebben van zowel polyhedra als van 4-dimensionale polytopen. Voor honingraten
zullen we onderzoeken of hiervoor een formule is op te stellen voor het verband tussen het aantal
vertices, ribben, polygonen en polyhedra, net zoals we de formule van Euler hebben gevonden voor
polyhedra.
Daarna zullen we een introductie geven van 4 dimensies en in het bijzonder van Cartesiaanse
coördinatenstelsel, omdat dit noodzakelijk is om te begrijpen wat hogere dimensies inhouden. Ook
zullen we onderzoeken welke manieren er zijn voor 3-dimensionale wezens om 4 dimensies te
begrijpen. We willen weten of er hoger-dimensionale analogen zijn van concepten zoals doorsneden
en projecties.
Als we een redelijk idee hebben gekregen van hogere dimensies, zullen we dieper ingaan op wat
polytopen nou precies zijn in 4 en vervolgens hogere dimensies en zullen we onderzoeken welke
eigenschappen van polygonen en polyhedra zijn door te trekken naar hogere dimensies. Ook zullen
we het begrip regulariteit generaliseren. We onderzoeken ook of er bepaalde reguliere polytopen
zijn die analogen hebben in elke dimensie.
Ten slotte proberen we de formule van Euler te generaliseren, zodat deze geldt voor polytopen in
elke dimensie en zullen we het gevonden verband proberen te bewijzen. Hieronder is overzichtelijk
weergegeven welke hoofdvraag en welke deelvragen we stellen voor dit onderzoek.
Hoofdvraag
Wat voor regelmaat is er te ontdekken in het aantal punten, ribben, polygonen en hogerdimensionale
analogen hiervan in convexe reguliere polytopen van elke dimensie?
Onderzoeksvra gen
3

Deelvragen
Welke eigenschappen en principes van Euclidische ruimte en Cartesiaanse coördinatenstelsels
kunnen we doortrekken naar hogere dimensies?
Op wat voor manieren kunnen wij als driedimensionale wezens vierdimensionale polytopen
weergeven in driedimensionale ruimte?
Wat voor eigenschappen van polygonen en polyhedra kunnen we doortrekken naar hogerdimensionale
polytopen, en dan met name naar polychora?
Hoe kunnen we regulariteit voor convexe polychora en voor convexe hoger-dimensionale
polytopen definiëren?
Zijn er bepaalde typen polytopen die te generaliseren zijn voor elke dimensie, en is er een
verband te ontdekken in het aantal lager-dimensionale polytopen dat deze bevatten?
Onderzoeksvra gen
4

1. Reguliere polygonen en polyhedra
§1.1 Reguliere polygonen 3
Polygonen zijn er in allerlei soorten en maten. Er zijn er zelfs oneindig veel verschillende polygonen
mogelijk, dus zullen wij onze beperken tot de reguliere polygonen. Een polygoon is regulier als er aan
de volgende voorwaarden wordt voldaan:
(1) De ribben van het polygoon zijn allemaal van dezelfde lengte.
(2) Alle inwendige hoeken van het polygoon zijn gelijk.
Reguliere polygonen worden genoteerd met het Schläfli-symbool {p}, waarin p het aantal vertices of
ribben is, met p > 3. We nemen als voorbeeld de {5}, oftewel het pentagoon (de vijfhoek) ABCDE, zie
het onderstaande figuur. Doordat alle hoeken en ribben gelijk zijn weten we dat het middelpunt en
het zwaartepunt van een regulier polygoon hetzelfde zijn. Met de afstanden van het middelpunt tot
de vertices allemaal gelijk en zo ook de afstanden van het middelpunt tot de ribben (ofwel de
middelpunten van de ribben), zijn er twee cirkels de tekenen:
(1) De ingeschreven of binnencirkel c1 met straal r1 die de ribben in hun
middelpunten raakt.
(2) De omgeschreven of buitencirkel c2 met straal r2 die door de vertices
gaat.
Beide cirkels hebben M (middelpunt van het betreffende polygoon) als
middelpunt, men zegt dan dat c1 en c2 concentrisch zijn.
Wanneer we vanuit het middelpunt een lijn naar elk middelpunt van een rib en elke vertex trekken
ontstaan er twee driehoeken per rib. In totaal zijn er dan 2p van deze driehoeken, dus voor het
pentagoon zijn het er 10. In het onderstaande figuur is één zo’n driehoek ( AKM ) weergegeven.
Als we stellen dat het polygoon zijden heeft van lengte 2l dan volgt AK = l. Ook zien we dat KM = r1,
AM = r2 en
, omdat er 2p driehoeken samenkomen in M. Omdat AKM een
rechthoekige driehoek is kun we gebruik maken van goniometrische formules. Zo kunnen we
bijvoorbeeld r1 en r2 uitrekenen.
( )
(
( )
Van driehoek AKM kunnen we ook de volgende dingen uitrekenen
(som hoeken is gelijk aan 180ᵒ)
(
)
(
3 Deze paragraaf is grotendeels gebaseerd op Coxeter, Regular Polytopes, blz. 1-3
)
)
(
(
)
)
Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra
5

Ook geldt daarnaast
Hieruit volgt
(
)
(gestrekte hoek)
(
)
De inwendige hoeken van een regulier polygoon zijn 2 KAM dus volgt
(
Voor de omtrek S van een regulier polygoon geldt natuurlijk
)
§1.2 Polyhedra 4
Ook voor de polyhedra zijn er oneindig veel mogelijkheden en daarom beperken wij ons net als bij
polygonen tot de reguliere en quasi-reguliere polyhedra. We behandelen eerst de reguliere
polyhedra. Een polyhedron is regulier als deze aan de volgende eisen voldoet
(1) Elk grensvlak is een reguliere polygoon.
(2) Alle grensvlakken zijn gelijk.
(3) De vertices zijn alle op dezelfde wijze omringd met grensvlakken.
Reguliere polyhedra worden genoteerd als {p,q} waarin p het soort polygoon is waarvan hij gemaakt
is, en q het aantal polygonen dat samenkomt in een vertex. Polyhedra worden genoemd naar het
aantal zijvlakken dat ze hebben. De {5,3} bijvoorbeeld is een volume of lichaam ingesloten door
pentagonen, met drie daarvan samenkomend in elke vertex. Als we de zijvlakken tellen komen we op
12 reguliere polygonen. De {5,3} wordt dan ook het dodecahedron genoemd (dodeca = 12). In
reguliere polyhedra zijn alle vertices gelijk verdeeld, wat inhoudt dat alle vertices even ver van het
middelpunt M liggen. Er is dus een sfeer waarop alle vertices liggen, de zogenaamde omtreksfeer S0.
Hieruit volgt natuurlijk dat er ook een sfeer is voor de ribben en een sfeer voor de grensvlakken van
polyhedra. De sfeer die de ribben in het midden raakt heet de middensfeer S1 en de sfeer die de
grensvlakken in hun middelpunt raakt heet de binnensfeer S2. Ze hebben allemaal hetzelfde
middelpunt en dus zijn S0, S1 en S2 concentrisch.
Elk van de hoeken die samen komen in een vertex is een inwendige hoek ( γ) van het polygoon. De
totale hoek rondom een punt is dus , wat minder moet zijn dan 2π. Anders zouden de ribben
namelijk allemaal in hetzelfde vlak liggen. Het is dan geen polyhedron, maar een vlak gevuld met
polygonen. Als groter zou zijn dan 2π, zouden de grensvlakken van de polyhedron het
inwendige volume snijden. Wij houden ons alleen maar bezig met convexe polyhedra, waar dit niet
het geval is. Dus kunnen we zeggen
4 Deze paragraaf is grotendeels gebaseerd op Coxeter, Regular Polytopes, blz. 4-7
Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra
6

(
(
)
)
Ook hier geldt natuurlijk weer p > 3, maar ook q > 3. Daarnaast moeten er uiteraard meer dan 2
polygonen in een vertex samen komen anders sluiten de ribben niet aan. Samen met die twee
voorwaarden kunnen we afleiden dat
(
(
(
)
)
)
Dus weten we dat 3 < p < 5 en 3 < q < 5, en kunnen we afleiden dat er mogelijke
combinaties van p en q zijn. Door de voorwaarde van convexiteit vallen er echter 4 van de 9 af, zoals
hieronder is afgeleid
* +
* +
* +
Tetrahedron
Octahedron
Icosahedron
Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra
7

* +
* +
* +
* +
Kubus
Dodecahedron
* +
* +
We kunnen dus concluderen dat er maar 5 convexe reguliere polyhedra zijn. Deze bijzondere
polyhedra zijn destijds door Plato bestudeerd en worden daarom ook wel de 5 Platonische lichamen
genoemd. We zullen nu kort ingaan op hoe de Platonische soliden te construeren zijn.
Een punt T en een regulier polygoon {p} vormen een piramide wanneer het punt T met elke vertex
van het polygoon {p} verbonden wordt, waarbij het punt T zo gekozen is dat alle gecreëerde
lijnstukken van gelijke lengte zijn. Wanneer het polygoon een gelijkzijdige driehoek {3} is en de
lijnstukken vanaf de vertices naar het punt T even lang zijn als de ribben van deze driehoek, dan
hebben we te maken met een tetrahedron. Wanneer het polygoon een vierkant {4} is en de
lijnstukken vanaf de vertices naar het punt T even lang zijn als de ribben van het vierkant, dan
hebben we een piramide met een vierkant als basis en 4 gelijkzijdige driehoeken als zijvlakken. Door
twee van deze piramides tegen elkaar te plaatsen zo dat ze een gemeenschappelijke basis hebben, is
het mogelijk om een octahedron te construeren. Een prisma wordt getraceerd wanneer een {p}
wordt verplaatst in een richting loodrecht op het vlak waar deze inligt. Door een prisma te nemen
met een vierkant {4} als basis, en de afstand tussen het bovenvlak en het ondervlak gelijk te stellen
aan de lengte van de ribbe van de beide vierkanten, construeren we een kubus. Door het bovenvlak
van een prisma
te draaien, krijgen we een antiprisma. Als we een antiprisma nemen
waarvoor geldt p = 5, en op zowel het bovenvlak als het ondervlak van deze antiprisma een piramide
plaatsen (dus met een {5} als basis), krijgen we een polyhedron waarin elke vertex is omringd door 5
gelijkzijdige driehoeken, dus de icosahedron. Er is geen simpele manier om de 5 e Platonische solide te
construeren, maar we kunnen 6 vijfhoeken aan elkaar plaatsen zo dat er een vijfhoek is die omringd
Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra
8

wordt door 5 andere vijfhoeken en elke vijfhoek behalve de middelste 3 vijfhoeken raakt. We krijgen
een soort van kom, waarvan we er twee op elkaar kunnen passen om een dodecahedron te vormen.
§1.3 De formule van Euler in 3 dimensies 5
De formule van Euler legt een verband tussen het aantal vertices, ribben en grensvlakken van een
polyhedron. Om de formule van Euler in 3 dimensies te kunnen begrijpen, is enige kennis van
grafentheorie vereist. Grafentheorie is de tak van wiskunde die de eigenschappen van grafen
bestudeert. Een graaf in het algemeen is een verzameling knopen (punten) verbonden door takken
(lijnen). Grafentheorie wordt soms beschouwd als een onderdeel van topologie, een uitgroeisel van
de meetkunde waar geen aandacht wordt besteed aan afstand en rechtlijnigheid, maar dat zich
bezighoudt met de manier waarop figuren met elkaar verbonden zijn.
Wij zullen ons alleen maar bezighouden met enkelvoudige, niet-gerichte grafen. Dit zijn grafen
waarbij ten eerste elke 2 knopen verbonden zijn door ten meeste één tak, en ten tweede de takken
geen richting hebben. De formele definitie van een enkelvoudige, niet-gerichte graaf G is G = (V,E),
een geordend paar van een niet-lege, eindige verzameling V en een verzameling E bestaande nietgeordende
tweetallen van elementen uit V, dus E ⊆ [V] 2 . De verzameling V bestaat dus uit de
knopen, en de verzameling E uit de takken van de graaf. In het onderstaande plaatje wordt als
voorbeeld de graaf G = (E,V) weergegeven, waarbij E = {1,2,3} en V = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}. 4
Elke graaf G heeft een duale graaf G*. 5 Een duale graaf is te construeren door in elk ingesloten vlak
(waarbij het oneindige vlak dat de graaf omgeeft ook als ingesloten vlak wordt beschouwd) een
knoop te plaatsen en vervolgens van deze knopen elk paar te verbinden waarvan de bijbehorende
vlakken een tak gemeenschappelijk hebben. Elke tak van de duale graaf snijdt dan de bijbehorende
tak van de originele graaf. Een graaf met N0 knopen, N1 takken en N2 vlakken levert dus een duale
graaf op met N2 knopen, N1 takken en N0 ingesloten vlakken. Hierbij wordt elk van de N2 knopen
van de duale graaf omgeven door een vlak van de originele graaf. Dualiteit is een symmetrische
relatie, wat inhoudt dat elke graaf de duale graaf van zijn duale graaf is oftewel G = G**.
Ten slotte is een boom een graaf die aan de volgende eigenschappen voldoet:
(1) De graaf bevat geen kringen, wat ketens zijn van opeenvolgende takken waarbij het beginpunt
van de eerste tak samenvalt met het eindpunt van de laatste tak.
5 De formule van Euler is op vele manieren te bewijzen, maar wij hebben gekozen voor het bewijs
van von Staudt, zoals deze beschreven is in Coxeter, Regular Polytopes, blz. 9.
4 http://diestel-graph-theory.com/basic.html, geraadpleegd op 30 december 2010
5 http://mathworld.wolfram.com/DualGraph.html, geraadpleegd op 29 december 2010
Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra
9

(2) De graaf is samenhangend, wat inhoudt dat er voor iedere 2 knopen i en j een keten van
opeenvolgende takken is tussen i en j.
Het aantal N0 knopen en N1 takken van een boom voldoen aan de volgende gelijkheid
Een Schlegel-diagram is gedefinieerd als een projectie van een polytoop in n-dimensionale ruimte op
(n-1)-dimensionale ruimte. Het Schlegel-diagram van polyhedra is te beschouwen als een graaf,
waarbij de N0 punten kunnen worden beschouwd als de knopen, de N1 ribben als de takken van en
de N2 grensvlakken als de ingesloten vlakken van de graaf. 6
Beschouw een willekeurige boom T1 waarvan de knopen de N0 vertices van de Schlegel-graaf GS zijn,
en waarvan de takken N0 – 1 van de N1 takken van GS zijn. De takken van de duale graaf van de
Schlegel-graaf GS* die afkomstig zijn van de takken van de graaf GS die geen onderdeel uitmaken van
de boom T1, vormen nu een graaf G2. Van de graaf G2 zijn de takken volledig gescheiden van de boom
T1, omdat alle takken van G2 niet afkomstig zijn van takken van de boom T1. Hieruit volgt dat de graaf
G2 voldoet aan de volgende eigenschappen:
(1) De graaf G2 kan bevat geen kringen, omdat kringen in deze graaf de originele graaf in 2 vlakken
zou verdelen. Beide vlakken zouden knopen van de boom T1 bevatten, waardoor deze niet meer
samenhangend zou zijn, wat per definitie onmogelijk is.
(2) De graaf G2 is samenhangend, omdat de enige manier waarop er tussen 2 knopen i en j geen
keten mogelijk zou zijn is als een kring van de boom T1 de graaf G2 zou onderbreken, maar bomen
hebben per definitie geen kringen.
Dus kunnen we de conclusie trekken dat G2 ook een boom is, met N2 punten en dus met N2 – 1
takken. We weten dat alle takken van G2 afkomstig is van een tak van de graaf G1, en dat elk van de
N1 takken van de graaf GS of een van deze takken is, of een tak is van de boom T1. Hieruit kunnen we
de conclusie trekken dat
( ) ( )
Hieruit kunnen we de formule van Euler afleiden, namelijk:
In de onderstaande afbeelding is het bovenstaande bewijs geïllustreerd in het Schlegeldiagram van
een tetrahedron. Hierbij stelt de rode graaf GS* voor, de groene stippellijn T1 en de blauwe stippellijn
T2. Te zien is dat, overeenkomstig met de beschreven theorie, alle takken van T2 gescheiden zijn van
de takken van T2.
6 http://mathworld.wolfram.com/SchlegelGraph.html, geraadpleegd op 6 januari 2010
Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra
10

§1.4 De formule van Euler en reguliere polyhedra 7
Wanneer we het polyhedra bestuderen, kunnen we een aantal verbanden leggen tussen N0, N1 en N2.
We zien namelijk dat in elke vertex q ribben bij elkaar komen, maar elke ribbe verbindt twee vertices
en wordt dus wanneer we het aantal ribben tellen met behulp van q twee keer meegeteld. Dus de
helft van het aantal vertices maal q is het aantal ribben
, dus
Ieder grensvlak heeft p ribben, maar elke rib is gemeenschappelijk aan twee polygonen. De helft van
het aantal zijvlakken maal p is dus het aantal ribben
, dus
Door de twee bovenstaande formules samen te voegen, krijgen we
Stel . Dan geldt er , waaruit volgt
De formule van Euler N N N 2 geeft ook al een verband aan. Door de hierboven gemaakte
conclusies in te vullen krijgen we
We kunnen nu N0, N1 en N2 in p en q uitdrukken
( )( )
Hieruit volgt samen met
7 De formules die in deze en de volgende paragraaf bewezen worden zijn afkomstig van Coxeter,
Regular Polytopes, blz. 13, 23
0
( )( )
1
2
( )( )
(
( )( ) )
( )( )
Uit deze formules is af te leiden dat de kubus en de octahedron een gelijke hoeveelheid ribben
hebben, maar een omgekeerde hoeveelheid vertices en grensvlakken. Een dergelijke relatie tussen
polyhedra noemen we dualiteit. De tetrahedron is duaal aan zichzelf. Voor de icosahedron en de
dodecahedron geldt ook een duale relatie. Duale polyhedra passen precies in elkaar, zoals in de
onderstaande afbeeldingen is weergegeven voor respectievelijk de dodecahedron en de kubus.
Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra
11

§1.5 De formule van Descartes
Eerder beschreven we dat de hoeken bij een vertex in totaal minder moeten zijn dan 2π. Het verschil
tussen de totale hoek en 2π noemen we δ. De totale hoek is zoals eerder bewezen
(
) , en dus geldt voor δ dat
(
)
We kunnen δ ook uitdrukken in N0, zoals hieronder is aangetoond
(
( )
We hebben aangetoond dat
)
( ( )( ))
8 Alle definities in deze paragraaf zijn afkomstig van Coxeter, Regular Polytopes, blz. 16 en Coxeter,
Introduction to geometry, blz. 156
9 http://mathworld.wolfram.com/VertexFigure.html, geraadpleegd op 10 januari 2011
(
( )( ) )
, en dus is de formule van Descartes te herleiden tot
( )( )
§1.6 Vertexfiguren 8
We hebben gedefinieerd dat een polyhedron regulier is, als er aan de volgende voorwaarden wordt
voldaan:
(1) Elk grensvlak is een reguliere polygoon.
(2) Alle grensvlakken zijn gelijk.
(3) De vertices zijn alle op dezelfde wijze omringd met grensvlakken.
Er is echter een veel simpelere manier om regulariteit te definiëren, namelijk met behulp van vertex
figuren. Het vertexfiguur van een vertex P van een polygoon, is het lijnstuk dat de middelpunten van
de twee aangrenzende ribben verbindt. 8 Voor een reguliere polygoon {p} met ribben van lengte 2l,
kan de lengte van het vertex figuur als volgt worden afgeleid:
(1) Beschouw het vertexfiguur AB, waarbij A en B middelpunten zijn van 2
opeenvolgende ribben van {p}.
(2) Het rib waar A op ligt is zo door te trekken, dat geldt dat de lengte van
AC gelijk is aan de lengte van de zijde waar A op ligt, oftewel 2l.
(3) Nu is , dus kunnen we gebruik maken van goniometrische
formules.
(4) In geldt nu dat (
(5) Dus kunnen we concluderen dat de lengte van het
vertexfiguur gelijk is aan
(
)
)
Het vertexfiguur van een vertex P van een polyhedron, is de polygoon waarvan de
ribben de vertexfiguren zijn van alle omliggende grensvlakken. Zo is het vertexfiguur
van elk punt van een kubus een gelijkzijdige driehoek.
Met behulp van vertexfiguren kunnen we regulariteit voor polyhedra nu op de volgende manier
definiëren. Een polyhedra is regulier, indien er aan de volgende voorwaarden wordt voldaan:
(1) Elk grensvlak is een reguliere polygoon.
(2) Van alle vertices is het vertexfiguur een reguliere polytoop.
Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra
12

Omdat alle grensvlakken volgens deze definitie regulier zijn, weten we dat alle ribben van de
polyhedron van gelijke lengte zijn. Daarnaast weten we, omdat volgens deze definitie alle
vertexfiguren regulier zijn, dat alle grensvlakken gelijk zijn. Als een vertex P van een polyhedron
namelijk aan verschillende grensvlakken zou grenzen zou het vertexfiguur van die vertex zijden van
verschillende lengte hebben, namelijk 2l cos( /p) voor verschillende waarden van p. Elk van de
hoeken tussen aangrenzende grensvlakken is ook gelijk. Dit is het geval omdat alle
hoeken tussen grensvlakken die in een vertex P voorkomen, corresponderen met
een hoek in de basis van een piramide met het vertexfiguur van P (wat per definitie
een reguliere polygoon is en dus gelijke hoeken heeft) als basis en het punt P als top.
Elk grensvlak van deze piramide is een gelijkzijdige driehoek met zijden l, l en 2l cos( /p). Het aantal
zijden q van de basis, kan niet verschillen zonder de hoek tussen aangrenzende grensvlakken
te veranderen. Hieruit kunnen we concluderen dat q hetzelfde is voor alle vertices, en dus
dat alle vertexfiguren gelijk moeten zijn. Samengevat is een reguliere polyhedron een polytoop {p,q},
waarvan de grensvlakken {q}’s zijn met zijde 2l en de vertexfiguren {p}’s zijn met zijde 2l cos( /p),
en waarvan we weten dat aan de hand van de definitie van regulariteit de volgende eigenschappen
af te leiden zijn:
(1) Alle ribben van de polyhedron zijn gelijk.
(2) Elk van de hoeken tussen aangrenzende grensvlakken is gelijk.
(3) Alle reguliere vertexfiguren zijn gelijk.
§1.7 Quasi-reguliere polyhedra 10
Wanneer we alle vertexfiguren van een regulier polyhedron nemen ontstaat er een nieuw
polyhedron met ribben (
). We stellen nu voor het gemak dat dit nieuw polyhedron ribben
heeft van lengte 2n. Dit polyhedron bestaat uit die vertexfiguren en de kleinere {p}’s die ontstaan
door het verbinden van de vertexfiguren. Met andere woorden, dit polyhedron bestaat uit het
convexe omhulsel van de vertexfiguren. Deze polyhedra worden quasi-reguliere polyhedra genoemd,
omdat ze gedeeltelijk aan de voorwaarden voor regulariteit voldoen. Ze voldoen namelijk aan de
volgende voorwaarden
(1) Elk grensvlak is een reguliere polygoon.
(2) Alle (niet-reguliere) vertexfiguren zijn gelijk.
Hieruit is af te leiden dat alle ribben van quasi-reguliere polyhedra gelijk zijn, met lengte 2l. Ook volgt
uit de definitie dat alle hoeken tussen aangrenzende vlakken gelijk zijn, en dat elk grensvlak omringt
is door grensvlakken van een andere soort.
De quasi-reguliere polyhedra worden genoteerd als ,
-, waarbij p en q staan voor de twee
verschillende reguliere polygonen waarvan de polyhedra gemaakt is. Deze getallen kunnen niet
gebruikt worden voor de formules in het voorgaande hoofdstuk, omdat deze getallen niet voor
hetzelfde staan als in het vorige hoofdstuk. Natuurlijk staat ,
Een ,
- voor hetzelfde figuur als ,
- kan zowel met een {p,q} als met een {q,p} geconstrueerd worden. Op de volgende pagina is
bijvoorbeeld aangegeven hoe een {
} uit zowel een {3,4}, dus octahedron, en een {4,3}, dus een
kubus, geconstrueerd kan worden. Deze quasi-reguliere polyhedron wordt een cuboctahedron
genoemd.
10 De definities in deze paragraaf zijn afkomstig van Coxeter, Regular Polytopes, blz. 17,18
-.
Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten
13

Hieronder staat weergegeven hoe een {
} uit zowel een {3,5}, dus icosahedron, en een {5,3}, dus een
dodecahedron, geconstrueerd kan worden. Deze heet een icosidodecahedron.
Als er in een vertex van een ,
- r {p}’s en r {q}’s samenkomen, is dit natuurlijk hetzelfde voor elke
vertex. Het vertexfiguur is dan een polygoon met 2r ribben, waarvan dan lengte om en om gelijk is
aan 2l cos( /p) en 2l cos( /q). De hoeken in de grensvlakken van een quasi-reguliere polyhedron
moeten natuurlijk minder zijn dan 2π, dus geldt
(
(
) (
) (
)
)
Hierin moeten p en q beiden groter dan of gelijk zijn aan 3, omdat {p} en {q} anders geen polygonen
zijn. Dus weten we dat r altijd gelijk is aan 2, en dus dat van alle quasi-reguliere polyhedra het
vertexfiguur een rechthoek is. De enige oplossingen van deze vergelijkingen (met r = 2) zijn {
{
}. De {
}, {
} en
} is gewoon een octahedron, dus een reguliere polyhedron, maar deze voldoet dus ook aan
de eigenschappen van een quasi-reguliere polyhedron.
Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten
14

2. Tegelingen en honingraten
§2.1 Tegelingen 11
Een tegeling is een oneindig vlak gevuld met polygonen die precies aansluiten en niet overlappen.
Een bekende voorbeelden van tegelingen zijn tegelvloeren. Reguliere tegelingen zijn gemaakt van
één soort regulier polygoon. Ze worden hetzelfde genoteerd als het reguliere polyhedron, dus met
het Schläfli-symbool {p,q}, maar bij tegelingen is de som van de hoeken van alle polygonen in één
vertex gelijk aan 2π. Met andere worden, δ = 0. We kunnen nu het volgende afleiden
(
(
)
)
De enige mogelijke oplossingen zijn ( ) ( ) ( ). Er zijn
dus maar 3 reguliere tegelingen namelijk {3,6}, {4,4} en {6,3}, welke hieronder in de genoemde
volgorde zijn weergegeven.
Met de formule van Descartes kunnen we zien dat een tegeling een oneindige hoeveelheid punten
bevat, wat te verwachten is aangezien een tegeling een oneindig vlak is. We zien dat
(
)
We kunnen een tegeling niet alleen op een plat vlak definiëren, maar ook op het oppervlakte van een
sfeer. Het oppervlakte van deze sfeer is niet begrensd, maar is wel eindig (dus met een niet-oneindig
oppervlakte). Voorbeelden van sferische tegelingen zijn de strandbal en de voetbal. Reguliere
sferische tegelingen worden op een zelfde manier genoteerd als polyhedra, dus met het
Schläfli-symbool {p,q}. Hier staat p uiteraard voor het soort polygoon en is q het aantal polygonen dat
samenkomt in één vertex. Het is natuurlijk zo dat de hoeken van alle polygonen in één vertex gelijk
zijn aan 2π. Polygonen die zich op het oppervlakte van een sfeer bevinden, hebben ribben die een
onderdeel zijn van cirkels binnen de betreffende sfeer door het middelpunt van die sfeer.
11 Deze paragraaf is grotendeels gebaseerd op http://mathworld.wolfram.com/Tessellation.html,
geraadpleegd op 5 januari 2011, en Coxeter, Regular Polytopes, blz. 58,59
Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten
15

Daarom zullen we deze sferische polygonen noemen, om ze te onderscheiden van normale
polygonen. In de onderstaande afbeelding is se sferische tegeling {3,5} te zien.
Sferische tegelingen hebben veel gemeen met polyhedra. In feite is het zo dat alle niet-meetkundige
eigenschappen (met andere woorden, alle eigenschappen die niet met lengte of rechtheid te maken
hebben) van een sferische tegeling {p,q} gelijk zijn aan die van de corresponderende polyhedron. Zo
hebben de sferische tegeling {3,5} en het polyhedron {3,5} exact dezelfde vertices. De hoeken van
sferische polygonen zijn simpel te berekenen met behulp van de formule van Descartes. Deze zijn
namelijk gelijk aan de som van de hoeken van polygonen in de corresponderende polyhedron en de
‘sferische overmaat’, oftewel δ gedeeld door het aantal polygonen in een vertex, dus q. De hoek ε
in een sferische polygoon is dus
(
12a http://mathworld.wolfram.com/Honeycomb.html, geraadpleegd op 6 januari 2011
12b De definities van regulier, quasi-regulier en semi-regulier voor honingraten zijn afkomstig van
Coxeter, Regular Polytopes, blz. 68-72
)
(
(
)
(
)
)
Deze formules is redelijk logisch, want in één vertex komen q polygonen samen, waarvan de som van
alle hoeken gelijk is aan 2π.
Zoals gezegd hebben sferische tegelingen veel overeenkomsten met polyhedra. Zo zijn van een
sferische tegeling ook het aantal punten, vertices, ribben en polygonen gelijk aan die van de
corresponderende polyhedron. Een interessant gevolg hiervan is dat de formule van Euler ook geldt
voor sferische tegelingen. Als we van een ‘vlakke’ tegeling een bepaald ingesloten deel van een
tegeling met N2 – 1 polygonen, N1 ribben en N0 vertices kiezen, en het oneindige vlak dat dit deel
omringd ook beschouwen als één polygoon, krijgen we een eindige verzameling polygonen waarvoor
de formule van Euler ook geldt.
§2.2 Honingraten 12
Honingraten zijn oneindige ruimten opgevuld met polyhedra (ook wel cellen genoemd) die precies op
elkaar aansluiten en niet overlappen. Een honingraat is regulier wanneer alle polyhedra regulier en
gelijk zijn. Reguliere honingraten worden genoteerd met het Schläfli-symbool {p,q,r}, waarin p en q
voor de polyhedra {p,q} staan en r voor het aantal polyhedra staat dat een rib omringt. De enige
reguliere honingraat die aan deze voorwaarden voldoet is {4,3,4}, oftewel een ruimte gevuld met
kubussen. Elke vertex behoort aan 8 kubussen, elke rib is een onderdeel van 4 kubussen en elk
polygoon is onderdeel van 2 kubussen.
Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten
16

Het vertexfiguur van een vertex P van een honingraat, is de polyhedron waarvan de grensvlakken de
vertexfiguren zijn van P met alle omliggende polyhedra. In een vertex waarin r {p,q}’s samenkomen,
is het vertexfiguur een polyhedron {q,r}. Het soort grensvlak van het vertexfiguur is dus afhankelijk
van hoeveel {p}’s er aan elke vertex grenzen in elk van de polyhedra van de honingraat. Het aantal
grensvlakken dat samenkomt in één vertex van het vertexfiguur is dus afhankelijk van het aantal
polyhedra dat om één ribbe liggen. Het vertexfiguur van de regelmatige honingraat {4,3,4} is een
{3,4}, oftewel een octahedron.
§2.2.1 Quasi-reguliere honingraten
Een honingraat is quasi-regulier wanneer de cellen van de honingraat regulier zijn, maar de
vertexfiguren quasi-regulier. Er is ook maar één quasi-reguliere honingraat, namelijk de honingraat
die bestaat uit tetrahedra en octahedra. Deze wordt genoteerd als {
}, omdat hij bestaat uit {3,3}’s
en {3,4}’s. De hoek tussen aangrenzende vlakken is gelijk aan 70,529ᵒ in tetrahedra en aan 109,471ᵒ
in octahedra. Het valt gelijk op de som van deze hoeken gelijk is aan 180ᵒ, waaruit we de conclusie
kunnen trekken dat deze figuren inderdaad samen een honingraat kunnen vormen waarin elke rib 2
octahedra en 2 tetrahedra raakt.
Het vertexfiguur van een vertex P van een {
} bestaat uit gelijkzijdige driehoeken (het vertexfiguur
in een tetrahedron) en vierkanten (het vertexfiguur van een octahedron). We weten dat er om elke
rib 2 octahedra en 2 tetrahedra liggen, dus is het vertexfiguur van {
} een polyhedron waarin in
elke vertex 2 vierkanten en 2 gelijkzijdige driehoeken samenkomen, met andere woorden een
cuboctahedron.
§2.2.2 Semi-reguliere honingraten
Wanneer we van een reguliere honingraat {4,3,4} alle vertexfiguren nemen, krijgen we een rooster
van octahedra waarvan elke vertex gemeenschappelijk is aan 2 octahedra. Naast octahedra worden
er ook cuboctahedron ingesloten, er is dus een honingraat mogelijk van deze 2 polyhedra. Deze
honingraat is in het onderstaande plaatje weergegeven. Dit is een semi-reguliere honingraat omdat
de polyhedra zowel regulier als quasi-regulier zijn en de vertexfiguren geen van beide. Deze
honingraat wordt genoteerd met het Schläfli-symbool ,
-.
Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten
17

Zoals te zien is elke vertex in deze honingraat omringd door 4 cuboctahedra (welke een rechthoek als
vertexfiguur heeft) en 2 octahedra. Hieruit kunnen we afleiden dat het vertexfiguur in een punt van
de honingraat een balk is.
§2.3 De formule van Euler in honingraten en 4 dimensies
We kunnen ook een formule opstellen met het aantal deelpolytopen in een honingraat, met behulp
van de formule van Euler voor 3 dimensies. We zeggen dat een ingesloten deel van de honingraat
N3 – 1 polyhedra heeft, N2 polygonen, N1 ribben en N0 vertices. De oneindige ruimte die dit deel
omgeeft beschouwen we, net als in 2 dimensies, als één polyhedron. In totaal zijn er dus N3
polyhedra. We zullen gebruik maken van het getal Njk, dat staat voor het aantal k-dimensionale
deelpolytopen die een bepaalde j-dimensionale deelpolytoop raken. Zo geldt bijvoorbeeld N10 = 2,
want elke lijn wordt begrenst door twee punten, en N23 = 2, want elk vlak is gemeenschappelijk aan 2
polyhedra in een honingraat. Voor lijnen en polygonen geldt respectievelijk dat N20 = N21, omdat bij
een polygoon het aantal ribben gelijk is aan het aantal vertices, en N12 = N13, omdat in een honingraat
elke lijn aan net zoveel vlakken als polyhedra grenst. Het is duidelijk dat voor de sommen ∑ en
∑ geldt dat
∑
∑
.
Als voorbeeld hiervan kunnen we kijken naar polyhedra. We nemen j = 3 en k = 2. De som
∑
∑
is nu gelijk aan twee keer het aantal ribben in de polyhedron, aangezien elke
rib twee keer geteld word (in polyhedra is elk rib gemeenschappelijk aan twee grensvlakken). De som
∑
∑
is ook twee keer het aantal ribben, aangezien elk apart element van de
sommatie N23 gelijk is aan 2, en de som genomen wordt over alle k’s.
Door de formule van Euler toe te passen op één polyhedron van de honingraat, krijgen we het
volgende
Door de formule van Euler toe te passen op een vertexfiguur van de honingraat, dus niet van één
bepaalde polyhedron, krijgen we de onderstaande formule
.
Hierin staat N01 voor het aantal ribben dat samenkomt in één vertex van de honingraat, en dus voor
het aantal punten van het vertexfiguur van de honingraat. Op een zelfde manier staat N02 voor het
aantal ribben van het vertexfiguur, en staat N03 voor het aantal grensvlakken van het vertexfiguur. De
deze twee formules te sommeren over alle cellen en alle vertices van de honingraat (van het gekozen
deel, niet van de hele honingraat), krijgen we volgende
Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten
18

∑ ∑ ∑ (de sommaties zijn hier ∑
∑ ∑ ∑ (de sommaties zijn hier ∑ ∑ )
∑ ∑ ∑ (∑ ∑ ∑ )
(∑
We weten dat
∑ ) (∑ ∑ ) (∑ ∑ ) .
(1) ∑ ∑ , aangezien ∑ ∑ .
(2) ∑ ∑ , aangezien ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ .
(3) ∑ ∑ ∑ ∑ , wat duidelijker genoteerd kan worden als
∑
∑
Dus kunnen we de bovenstaande formule herleiden tot
( )
∑
∑
Deze formule geldt niet alleen maar voor honingraten, maar ook voor polychora. In het laatste
hoofdstuk zullen we deze formule generaliseren. 13
13 Dit bewijs is een uitgebreide variant van het bewijs geleverd in Coxeter, Regular Polytopes, blz. 72
∑
)
Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten
19

3. Introductie tot 4 dimensies
§3.1 Dimensionale analogie
Om een redelijk begrip te ontwikkelen van de 4 e dimensie, is dimensionale analogie een onmisbaar
instrument. Dimensionale analogie is het bestuderen hoe wiskundige relaties en eigenschappen in
(n-1) dimensies zich verhouden tot wiskundige relaties en eigenschappen in n dimensies, en daaruit
afleiden hoe dezelfde wiskundige eigenschappen in n dimensies zich verhouden tot die in (n+1)
dimensies.
Dimensionale analogie stelt ons tot op bepaalde hoogte ertoe in staat om de elementaire
eigenschappen van polytopen in 4 dimensies (en later ook in hogere dimensies), af te leiden uit de
eigenschappen van polyhedra en polygonen, en in sommige gevallen zelfs lijnstukken en punten. Zo
is bijvoorbeeld bekend dat een lijn wordt ingesloten door 2 punten, dat een vierkant wordt
ingesloten door 4 lijnen en dat een kubus wordt ingesloten door 6 vlakken. Het is aan de hand van
deze getallen te verwachten dat de vierdimensionale analoog van een kubus, de hyperkubus, wordt
ingesloten door 8 kubussen. Dit geldt niet als sluitend bewijs (dat zullen we later leveren), maar kan
wel als richtlijn wordt gebruikt.
§3.2 Flatland
Zoals gezegd is het door middel van dimensionale analogie mogelijk op eigenschappen van
(n+1)-dimensionale ruimte af te leiden, door te bestuderen hoe n-dimensionale ruimte zich verhoudt
tot (n-1)-dimensionale ruimte. Om gevoel te krijgen voor de eigenschappen van 4-dimensionale
ruimte, kunnen we bestuderen hoe een hypothetisch tweedimensionaal wezen een begrip zou
kunnen ontwikkelen van 3-dimensionale ruimte.
Een goede manier waarop een tweedimensionaal wezen zich driedimensionale ruimte zou kunnen
voorstellen, is door het simpelweg te beschouwen als een oneindige verzameling tweedimensionale
deelruimten (oftewel vlakken), opgestapeld in een 3 e dimensie, elk op infinitesimaal kleine afstand
van de aangrenzende vlakken. In welke richting deze 3 e dimensie gaat zal het tweedimensionale
wezen niet kunnen begrijpen, aangezien zijn ruimtelijk inzicht zich beperkt tot dimensie 2 en lager.
Op deze zelfde manier kan een 0-dimensionaal wezen zich een 1-dimensionale ruimte voorstellen als
een oneindige verzameling punten opgestapeld in de 1 e dimensie, en kan een 1-dimensionaal wezen
zich een 2-dimensionale ruimte voorstellen als een oneindige verzameling lijnen.
Om deze kennis in een wat meer concrete zin zichtbaar te maken, zou het tweedimensionale wezen
de doorsneden kunnen bestuderen van 3-dimensionale figuren, bijvoorbeeld de kubus. Het
3-dimensionale figuur is op deze manier voor te stellen als een oneindige verzameling van deze
doorsneden, waarvan elk het deel is van het figuur dat zich in één bepaalde deelruimte van de
3-dimensionale ruimte bevindt.
Om een kubus, of een hypervierkant zoals het tweedimensionale wezen het waarschijnlijk zou
noemen, te construeren kan op de volgende manier van dimensionale analogie gebruik worden
gemaakt
Hoofdstuk 3: Introductie tot 4 dimensie s
20

(0) Een punt wordt gebruikt om een specifieke positie in een ruimte aan te duiden. Een punt heeft
geen lengte, oppervlakte, of hoger-dimensionale analogieën hiervan, en is dus 0-dimensionaal.
(1) Door dit punt een willekeurige richting over een bepaalde afstand in een rechte lijn te
bewegen, wordt er een lijnstuk getraceerd. Een lijnstuk is dus een 1-dimensionaal object.
(2) Door deze lijn een richting loodrecht op zichzelf (dus in de 2 e dimensie) over een afstand gelijk
aan zijn lengte in een rechte lijn te bewegen, wordt er een vierkant getraceerd. Een vierkant is dus
een 2-dimensionaal object.
(3) Door dit vierkant een richting loodrecht op zichzelf (dus in de 3 e dimensie) over een afstand
gelijk aan de lengte van het in stap 1 getraceerde lijnstuk in een rechte lijn wordt te bewegen,
wordt er een kubus getraceerd. Een kubus is dus een 3-dimensionaal object.
Met behulp van deze (ietwat simplistische) definitie van een kubus, zou het tweedimensionale wezen
kunnen bestuderen hoe de doorsnede van een kubus in een vlak eruit ziet, en zo een idee kunnen
krijgen van de 3-dimensionale analoog van het vierkant. Afhankelijk van de manier waarop de kubus
geroteerd is, kan de doorsnede alles zijn van een punt tot een zeshoek.
Op dezelfde manier kunnen wij als 3-dimensionale wezens een beeld krijgen van de 3-dimensionale
ruimte door deze voor te stellen als een oneindige verzameling 3-dimensionale deelruimten,
opgestapeld in de 4 e dimensie, elk infinitesimaal kleine afstand van de aangrenzende deelruimten.
Een 4-dimensionaal figuur is op deze manier voor te stellen als een oneindige verzameling van deze
doorsneden, waarvan elk het deel is van het figuur dat zich in één bepaalde 3-dimensionale
deelruimte van de 4-dimensionale ruimte bevindt. We zouden een hyperkubus, de 4-dimensionale
analoog van een kubus, als volgt kunnen definiëren:.
(4) Door een kubus een richting loodrecht op zichzelf over een afstand gelijk aan de lengte van
het in stap 1 getraceerde lijnstuk in een rechte lijn te bewegen, wordt er een hyperkubus
getraceerd. Een hyperkubus is dus een 4-dimensionaal object. De constructie van een hyperkubus
vanuit een punt wordt in de onderstaande afbeelding weergeven. 14
Ook kan er een beter begrip worden ontwikkeld van (n+1)-dimensionale ruimte met behulp van
projecties waar we, samen met een meer gedetailleerde behandeling van de doorsnedes van zowel
de kubus als de hyperkubus, later dieper op in zullen gaan.
14 Deze manier van het construeren van een hyperkubus wordt door zeer veel auteurs gebruikt. Deze
constructie is een variant van de constructie op Coxeter, Introduction to geometry, blz. 398
Hoofdstuk 3: Introductie tot 4 dimensie s
21

§3.3 Euclidische ruimte in 4 dimensies
In de wiskunde, als ook in de natuurkunde, is de dimensie van een bepaalde ruimte of object
gedefinieerd als het minimale aantal coördinaten wat nodig is om elk punt in de ruimte te
specificeren. Een n-dimensionale ruimte is gedefinieerd als de verzameling van alle punten die
worden verkregen wanneer we n+1 niet-gelijke punten nemen die niet in één (n-1)-dimensionale
ruimte liggen, alle punten nemen die lineair zijn met 2 van die punten, en ten slotte alle punten
nemen die lineair zijn met de dan verkregen punten. 15 Zo bestaat een vlak, of een 2-dimensionale
ruimte, uit alle punten die verkregen worden wanneer we drie punten nemen die niet op dezelfde
lijn liggen, alle punten nemen die lineair zijn met 2 van die punten, en vervolgens alle punten nemen
die lineair zijn met de dan verkregen punten.
Een Euclidische ruimte van dimensie n, genoteerd als E n , wordt gedefinieerd aan de hand van een
Cartesiaans coördinatenstelsel. Het Cartesiaanse vlak in E 2 is een 2-dimensionaal coördinatenstelsel
met 2 loodrechte assen, elkaar snijdende in de oorsprong O. Voor elke as moet noodzakelijk een
oriëntatie bepaald zijn, die aangeeft in welke richting de as positief en negatief is. Dit
coördinatenstelsel definieert een punt aan de hand van een tweetal coördinaten, welke gedefinieerd
kunnen worden als de afstanden (met teken, dus mogelijk negatief) van de loodrechte projecties van
het betreffende punt op twee loodrechte assen, respectievelijk de x-as (de lijn y = 0) en de y-as (de
lijn x = 0) tot de oorsprong, genoteerd als (x,y). Cartesiaanse coördinatenstelsels hebben analogen in
elke reële dimensie.
Een Cartesiaans coördinatenstelsel in E 3 wordt gedefinieerd met 3
onderling loodrechte assen, en dus (
15 Manning, Geometry of four dimensions, blz. 24
16 Coxeter, Regular Polytopes, blz. 121
) = 2 onderling loodrechte
vlakken door de oorsprong. Dit is het geval omdat een vlak wordt
bepaald aan de hand van 3 punten, en dus ook bepaald kan worden aan
de hand van 2 snijdende lijnen. Elk punt in E 3 gedefinieerd aan de hand
van een drietal coördinaten, welke gedefinieerd zijn als de afstanden
van de loodrechte projecties van het punt op de drie loodrechte
vlakken, respectievelijk het yz-vlak (het vlak x = 0), het xz-vlak (y = 0) en
het xy-vlak (z = 0), genoteerd als (x,y,z). Hiernaast is weergegeven hoe
een coördinaat van een punt kan worden bepaald door het projecteren
van het punt op één van de drie loodrechte vlakken door de oorsprong.
Een fundamentele eigenschap van een n-dimensionale ruimte, is de mogelijkheid van n onderling
loodrechte lijnen door een punt O. 16 Analoog aan de definities van het twee- en driedimensionale
coördinatenstelsel, wordt een Cartesiaans coördinatenstelsel in E 4 gedefinieerd met 4 onderling
loodrechte assen door de oorsprong. Dit is per definitie onmogelijk in ons 3-dimensionale universum,
net zoals 3 loodrechte assen een onmogelijkheid zijn in het Cartesiaanse vlak.
Vierdimensionale ruimte is zoals gezegd te beschouwen als een oneindige verzamelingen
3-dimensionale deelruimten. Een 3-dimensionale deelruimte wordt meestal een hypervlak genoemd.
Een hypervlak is gedefinieerd als alle punten die verkregen worden wanneer we 4 punten nemen die
niet op één vlak liggen, alle punten nemen die lineair zijn met 2 van die punten, en vervolgens alle
punten nemen die lineair zijn met de dan verkregen punten. De definitie van 4-dimensionale ruimte
is bestaat uit alle punten die verkregen worden wanneer we 5 punten nemen die niet op hetzelfde
Hoofdstuk 3: Introductie tot 4 dimensie s
22

hypervlak liggen, alle punten nemen die lineair zijn met 2 van die punten, en vervolgens alle punten
nemen die lineair zijn met de dan verkregen punten.
In E 4 zijn er (
) = 4 onderling loodrechte hypervlakken door de oorsprong. Dit is het geval omdat een
hypervlak wordt bepaald aan de hand van 4 punten, en dus ook bepaald kan worden aan de hand
van 3 snijdende lijnen. Elk punt in E 4 wordt gedefinieerd aan de hand van een viertal coördinaten,
welke gedefinieerd zijn als de afstanden van de loodrechte projecties van het punt op vier loodrechte
hypervlakken, respectievelijk het x2x3x4 - hypervlak (x1 = 0), x1x3x4 - hypervlak (x2 = 0),
x1x2x4 - hypervlak (x3 = 0) en het x1x2x3 - hypervlak (x4 = 0).
In het algemeen geldt dat in n-dimensionale ruimte E n , een Cartesiaans coördinatenstelsel wordt
gedefinieerd met n onderling loodrechte assen, en dus met
(
)
( )
( ( ))
( )
onderling loodrechte (n-1)-deelruimten door de oorsprong. Dit is het geval omdat n-dimensionale
ruimtes worden bepaald aan de hand van n+1 punten, en dus ook bepaald kan worden aan de hand
van n snijdende lijnen. Elk punt in E n wordt gedefinieerd aan de hand van n coördinaten. Een
coördinaat xN is de afstand van de loodrechte projectie van het punt op de (n-1)-deelruimte xn = 0.
Hoofdstuk 3: Introductie tot 4 dimensie s
23

4. Projectie
§4.1 Projectie in het algemeen
Een projectie in het algemeen is een meetkundige transformatie, waarbij een n-dimensionale ruimte
tot een (n-1)-dimensionale ruimte wordt gereduceerd. Er zijn verschillende projectiemethodes, maar
wij zullen ons alleen maar richten op perspectivische projectie. Deze projectiemethode heeft, net als
alle andere projectiemethoden, eenvoudige veralgemeniseringen in hogere dimensies. Wij zullen ons
allereerst focussen op projectie van een driedimensionale ruimte op een projectievlak, en later zullen
wij kort ingaan op projectie van een vierdimensionale ruimte op een driedimensionale
projectieruimte.
§4.2 Projectie in twee en drie dimensies
Om een idee te krijgen van wat projectie inhoudt, zullen we eerst ingaan op projectie in 2 dimensies,
dus de projectie van een tweedimensionale projectieruimte op een (eendimensionale) projectielijn.
Naast een projectielijn definiëren we ook een waarnemer E, waarbij E niet op de projectielijn l ligt.
De perspectivische projectie p van E op l is de transformatie die elk punt A ≠ E afbeeldt op het punt
A’, oftewel p: A A’, wat het snijpunt is van lijn AE en projectielijn l. Om de formules voor de
coördinaten van A’ enigszins te simplificeren, nemen we aan dat de projectielijn samenvalt met de
x-as, en dat de waarnemer E zich op de negatieve y-as bevindt. 17
Te zien is dat ( ), omdat . Hieruit volgt
waarbij ez is gedefinieerd als de afstand van E tot de projectielijn, oftewel |zE|.
Bij projectie in drie dimensies, dus de projectie van een driedimensionale projectieruimte op een
(tweedimensionaal) projectievlak, definiëren we in plaats van een projectielijn l een projectievlak V.
De perspectivische projectie p van E op l is nu de transformatie die elk punt A ≠ E afbeeldt op het
punt A’, wat het snijpunt is van lijn AE en projectievlak V. We nemen aan de V samenvalt met het
xy-vlak, en dat E zich op de negatieve z-as bevindt. Voor de coördinaten van A’ geldt nu:
17a
http://faculty.cs.tamu.edu/jchai/cpsc641_spring10/PerspectiveProjection.pdf, geraadpleegd op 10
november 2010
17b
http://mathworld.wolfram.com/Projection.html, geraadpleegd op 10 november 2010
Hoofdstuk 4: Projectie
24

Deze formules op dezelfde manier af te leiden als de projectieformule in twee
dimensies. In de aangegeven projectie van een kubus op een projectievlak, is te
zien dat afstanden en hoeken vertekend zijn. In werkelijkheid zijn alle ribben van
de kubus even lang en zijn alle hoeken 90°. Zo lijken de zijvlakken van de kubus in
de projectie op trapezia, terwijl deze in werkelijkheid natuurlijk vierkanten zijn.
§4.3 Projectie in vier en meer dimensies
We hebben gezien dat om een n-dimensionale ruimte te reduceren tot een (n-1)-dimensionale
ruimte, we gebruik kunnen maken van de formules van perspectivische projectie. Bij het afleiden van
de projectie-formules in 2 dimensies zagen we dat er bij perspectivische projectie p: A A’ voor
punt A geldt
Dit kunnen we in n dimensies generaliseren tot het coördinaat xN (N = 1, 2, ..., n)
De onderstaande afbeelding is een projectie van hyperkubus op een 3-dimensionale projectieruimte,
welke vervolgens geprojecteerd is op een 2-dimensionaal projectievlak om te kunnen worden
weergegeven op papier. Net zoals bij een projectie van de kubus zijn afstanden en hoeken vertekend.
Zo lijkt geen van de driedimensionale elementen die de hyperkubus bevat op een kubus, terwijl elk
van deze elementen in werkelijkheid wel een kubus is.
De beste eigenschap van projecties, en de reden dat er veel situaties zijn waarin ze meer bruikbaar
zijn dan doorsnedes, is dat de topologische eigenschappen van de geprojecteerde polytoop intact
blijven. Dit houdt in dat er duidelijk te zien is welke vertices met elkaar verbonden zijn, en waar zich
vlakken en zo mogelijk hoger-dimensionale analogen hiervan zich bevinden.
Hoofdstuk 4: Projectie
25

5. Doorsnede van een hyperkubus
Om een beter begrip te kunnen ontwikkelen van de hyperkubus, hebben we een programma
ontwikkeld dat in staat is de doorsnede van een hyperkubus met het hypervlak x4 = 0 te bepalen. Het
is niet goed mogelijk om aan de hand van doorsnede precieze eigenschappen van de hyperkubus af
te leiden, maar het is een zeer goed instrument om een algemeen idee te krijgen van de ‘bouw’ van
een hyperkubus.
§5.1 Indexeren van vlakken en hypervlakken
Om het snijvlak van een hyperkubus (met ribbe r) met het hypervlak x4 = 0 te vinden, beschouwen
we deze als bestaande uit 8 onafhankelijke kubussen. Noodzakelijkerwijs is het eerste wat we
moeten het indexeren van deze kubussen. Hiervoor wordt er bij het starten van het programma niet
alleen een hyperkubus gecreëerd, welke we de reële hyperkubus zullen noemen, maar wordt er ook
nog een tweede hyperkubus gecreëerd, welke we de binaire kubus zullen noemen. Van beide
hyperkubussen zijn de coördinaten van alle punten gedefinieerd met het middelpunt van de
hyperkubus als oorsprong.
De reële hyperkubus kan transformaties en rotaties ondergaan, maar de binaire hyperkubus kan dit
niet en heeft per definitie een ribbe van lengte 1. De binaire hyperkubus heeft dus altijd de
coördinaten (½±½, ½±½, ½±½, ½±½). De indices van de kubussen die de hyperkubus bevat worden
gedefinieerd aan de hand van de binaire hyperkubus, maar aangezien de indices bepaald worden op
het moment dat beide hyperkubussen gecreëerd worden, blijven deze ook geldig wanneer de reële
hyperkubus gaat roteren.
De beste methode om de hyperkubus te indexeren is op basis van welk coördinaat binnen de binaire
hyperkubus constant is. De indexering die dit oplevert wordt weergegeven in de onderstaande tabel.
indexkubus\coördinaat x1 x2 x3 x4
0 0 [0,1] [0,1] [0,1]
1 1 [0,1] [0,1] [0,1]
2 [0,1] 0 [0,1] [0,1]
3 [0,1] 1 [0,1] [0,1]
4 [0,1] [0,1] 0 [0,1]
5 [0,1] [0,1] 1 [0,1]
6 [0,1] [0,1] [0,1] 0
7 [0,1] [0,1] [0,1] 1
Zoals te zien is gelden de indexen 0 en 1 voor binaire kubussen waarin het x1-coördinaat constant is,
de indexen 2 en 3 voor binaire kubussen waarin het x2-coördinaat constant is, de indexen 4 en 5 voor
binaire kubussen waarin het x3-coördinaat constant is en de indexen 6 en 7 voor binaire kubussen
waarin het x4-coördinaat constant is. Bij elk van deze tweetallen correspondeert de lage, even index
met de kubus waarvoor geldt xn = 0 en de hoge, oneven index met de kubus waarvoor geldt xn = 1.
Om de index van een kubus om te rekenen naar de dimensie van het constante coördinaat, zullen we
gebruik maken van de volgende formule:
( )
Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus
26

Hierbij staat %2 voor het feit dat we rekenen met modulus 2. Modulair rekenen is een vorm van
geheeltallig rekenen, waarbij de modulus m als bovengrens fungeert. 18 Met modulus m wordt er
alleen maar gerekend met de getallen 0, 1, …, m-1. Als uit een berekening een uitkomst volgt die
groter dan of gelijk is aan de modulus, moet er eerst m van de uitkomst afgetrokken worden totdat
het resultaat kleiner is dan m. Er wordt dus als het ware gewerkt met een cirkelvormige getallenlijn.
Bij het rekenen met modulus 2 wordt er alleen gerekend met de getallen 0 en 1. Zo geldt
bijvoorbeeld 1 + 1 = 0. Wij zullen van nu af aan bij zowel deze coëfficiënten als bij incidentiegetallen
gebruik uitsluitend gebruik maken van rekenen met modulus 2. De grootte van het coördinaat voor
respectievelijk de binaire kubussen en de reële kubussen is te berekenen met de formule
voor de binaire kubus
(
) voor de reële kubus
Om het snijvlak van een kubus met het hypervlak x4 = 0 te vinden, zullen we deze op hun beurt
beschouwen als 6 losse vlakken. Voor het indexeren van de grensvlakken van een kubus zullen we op
een vergelijkbare manier te werk gaan als bij het indexeren van de kubussen. We zullen opnieuw
gebruik maken van de binaire hyperkubus. De indexering van de grensvlakken van kubussen is tegen
de eerste verwachting in veel gecompliceerder dan zijn hoger-dimensionale tegenpool, aangezien er
een patroon gezocht moet worden in het onveranderde coördinaat van de grensvlakken van
meerdere kubussen. Het zou een monnikenwerk zijn om voor elk van de 8 kubussen een aparte
indexering te definiëren, dus streven we naar een ‘gegeneraliseerde’ indexering, die geldt voor alle
kubussen. De beste, zo niet de enige manier om dit te bereiken is door in een bepaalde binaire kubus
niet te werken met x1, x2, x3, en x4, maar met xA, xB, xC en xD. Hierbij zijn xA, xB en xC de drie variabele
coördinaten in een kubus, en is xD het invariabele coördinaten. Hierbij hebben A, B en C voor elke
indexkubus vaststaande waarden, welke worden weergegeven in de onderstaande tabel.
indexkubus\coördinaat xA xB xC xD (constant)
0 2 3 4 1
1 2 3 4 1
2 1 3 4 2
3 1 3 4 2
4 1 2 4 3
5 1 2 4 3
6 1 2 3 4
7 1 2 3 4
De grensvlakken worden voor elke kubus gedefinieerd aan de hand van xA, xB en xC, dus niet aan de
hand van x1, x2, x3 en x4. De indices van de grensvlakken, die dus voor elke kubus gelden, worden
weergegeven in de onderstaande tabel.
Indexvlak\coördinaat xA xB xC
0 0 [0,1] [0,1]
1 1 [0,1] [0,1]
2 [0,1] 0 [0,1]
3 [0,1] 1 [0,1]
4 [0,1] [0,1] 0
5 [0,1] [0,1] 1
18 http://mathworld.wolfram.com/ModularArithmetic.html, geraadpleegd op 28 september 2010
Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus
27

Om deze indexering enigszins te verduidelijken is bij alle vlakken in het onderstaande
Schlegeldiagram de index weergegeven.
Om de index van een vlak om te rekenen naar de dimensie van het constante coördinaat, zullen we
gebruik maken van de volgende formule. De formule heeft als uitkomst 1, 2 of 3, maar deze moeten
geïnterpreteerd worden als A, B of C:
( )
De variabele coördinaten in een vlak met een bepaalde index kunnen worden weergegeven in de
volgende tabel
indexvlak variabel coördinaat 1 variabel coördinaat 2
0 xB xC
1 xB xC
2 xA xC
3 xA xC
4 xA xB
5 xA xB
§5.2 Indexeren van punten
De laatste taak die nu nog verricht moet worden met betrekking tot indices is het indexeren van de
punten van de kubussen. De punten in de binaire kubus, die worden genoteerd als (xA,xB,xC), zijn
uiteraard de punten (±1, ±1, ±1). Alle punten in de binaire kubus kunnen worden voorgesteld als één
binair getal van 3 bits, waarbij elke bit in het binaire getal staat voor één coördinaat. De meest
rechtse bit staat voor het xA-coördinaat, de middelste bit voor het xB-coördinaat en de meest linkse
bit voor het xC-coördinaat. De index van een punt is in deze context de decimale weergave van het
binaire getal dat zijn positie aangeeft. De coördinaten van een punt in een bepaalde kubus is nu als
volgt uit te drukken
( ( )
( )
door de (decimale) index op te splitsen in de bits van het binaire getal dat de positie van het punt
aangeeft.
Bij het creëren van een kubus, wat gebeurt op het moment dat het programma opstart, gebeuren er
twee belangrijke dingen:
(1) Er wordt, voor alle indices i ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, een punt Q(xA, xB, xC) gecreëerd
behorende tot de binaire kubus, waarvan de coördinaten worden berekend met de
bovenstaande formule voor het omzetten van een index in een punt.
),
Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus
28

(2) Er wordt, voor alle indices i ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, een punt P(x1,x2,x3,x4) gecreëerd
behorende tot de reële kubus, waarvan de coördinaten berekend worden door simpelweg
het coördinaat van het corresponderende punt van de binaire kubus scalair te
vermenigvuldigen met
.
De enige complicatie is dat er zorgvuldig gekeken moet worden welke coördinaten van
P(x1,x2,x3,x4) variabel zijn. De coördinaten van dit punt moeten dus als volgt berekend
worden:
De letters A, B en C slaan hier uiteraard op de dimensie van het coördinaat. Nu geldt er voor
het overige coördinaat xD dat
( ) (
) .
§5.3 Het lijn-object
Alle algoritmes die vanaf nu beschreven worden, zijn algoritmes die in het programma bij elk nieuw
frame uitgevoerd worden, dus bij benadering 25 keer per seconde. De eerste van deze algoritmes is
het vinden van het eerste snijvlak van een kubus met het hypervlak x4 = 0. Bij het creëren van de
kubus, dus op het moment dat het programma start, wordt er voor elke kubus een abstract object
gecreëerd, waar we naar zullen verwijzen met , of kortweg V. Op het moment van creëren
is dit een lege verzameling ∅. Aan kunnen echter dynamisch elementen, in ons geval punten
worden toegevoegd. Het object is een geordende verzameling, in de zin dat er bekend is in welke
volgorde de punten aan het object zijn toegevoegd.
§5.4 Algoritme voor het vinden van het eerste snijvlak met x4 = 0
Om het eerste snijvlak te vinden met x4 = 0, wordt er het volgende gedaan. Ten eerste wordt het vlak
met index 0 en het punt met index 0 geselecteerd. Naast dit punt wordt ook het punt geselecteerd
dat verkregen wordt wanneer van het eerste variabele coördinaat (binnen het geselecteerde vlak, zie
de tabel op de vorige pagina) wordt veranderd, in dit geval xB. Om de index van een punt (van de
binaire kubus) S2 te berekenen dat slechts verschilt in één coördinaat xN (hierbij geldt dat N = 1
overeen komt met xA, N = 2 overeen komt met xB en N = 3 overeen komt met xC), zullen we gebruik
maken van de volgende formule
( ).
Hierbij zijn de coördinaten van S1 en S2 altijd 0 of 1, aangezien dit punten van de binaire kubus zijn.
Als een punt met index 7, dus Q7(1, 1, 1), bijvoorbeeld verplaatst wordt over xB, is de index van het
tweede punt S2 gelijk aan ( ) , dus Q5(1, 0, 1). Wij zullen de twee
geselecteerde punten noteren als S1, in dit geval het punt Q1(0, 0, 0), en S2, in dit geval Q3(0, 1, 0).
Dit doen we om te verduidelijken dat het hier gaat om tijdelijke selecties, en S1 en S2 dus zelf geen
punten zijn. We zullen de index van het geselecteerde vlak weergeven met iV, nu geldt er dus iV = 0.
Na het bepalen van S2 wordt er nagegaan of er aan de volgende voorwaarde wordt voldaan
(( ) ( )) (( ) ( )),
Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus
29

met andere woorden: één van de punten S1 en S2 ligt boven het hypervlak x4 = 0, en het andere punt
ligt onder het hypervlak. In het geval dat deze er aan deze voorwaarde wordt voldaan, worden de
coördinaten van het snijpunt I van het lijnstuk S1S2 met het
hypervlak x4 = 0 geïnterpoleerd.
In deze afbeelding is te zien dat voor elk coördinaat xN van
punt I geldt dat
( )
Het punt I is zowel te zien als een punt in 3-dimensionale
ruimte (aangezien deze zich altijd in hetzelfde hypervlak x4 = 0
bevindt), als een punt in 4-dimensionale ruimte met x4 = 0. Wij
zullen I beschouwen als een punt met 3 coördinaten. Dit zijn
coördinaten gedefinieerd als (x1, x2, x3), dus niet als (xA, xB, xC).
Vervolgens worden de volgende stappen nog drie keer uitgevoerd
(1) S1 wordt gelijkgesteld aan S2, dus er wordt voor S1 het punt geselecteerd dat
aanvankelijk voor S2 geselecteerd was.
(2) S2 wordt geselecteerd met behulp van de bovenstaande formule voor ,
waarbij N ∈ {2, 3} (want bij iV = 0 variëren alleen xB en xC) en N is ongelijk aan de
voorgaande N.
(3) Als er aan de bovenstaande voorwaarde wordt voldaan wordt er een punt
geïnterpoleerd, met behulp van de formule voor interpolatie.
Als er voordat de controle van de bovenstaande voorwaarde vier keer is uitgevoerd 2 punten aan het
object V zijn toegevoegd, worden deze stappen gestaakt en wordt er een volgend vlak geselecteerd
(iV wordt dus veranderd). Het algoritme voor het vinden van de 2 snijpunten van de ribben van het
vlak met index 0 en het hypervlak x4 = 0 wordt wat duidelijker weergegeven in de onderstaande
afbeelding. Hierin is de volgorde van de selectie van punten weergegeven.
Als er geen snijpunten gevonden kunnen worden in het vlak met index 0, worden alle bovenstaande
stappen gevolgd, maar dan met iV = 1. Mocht het het geval zijn dat er voor iV = 1 ook geen snijpunten
worden gevonden, worden hetzelfde gedaan met iV = 2. We noteren de index van het eerste vlak
waarin een snijlijn gevonden wordt met iV,start, dus er geldt iV,start ∈ {0,1,2}. Als er voor alle drie de
gevallen geen snijpunten worden gevonden, is het onmogelijk dat de betreffende kubus x4 = 0 snijdt.
Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus
30

§5.5 Algoritme voor het vinden van het aangrenzende vlak
Als er wel 2 snijpunten worden gevonden is de volgende taak het vinden
van het vlak (of beter gezegd van iV), dat de lijn S1S2 gemeenschappelijk
heeft met het eerste vlak. Hierbij zijn S1 en S2 de geselecteerde punten
op het moment dat het 2 e snijpunt van x4 met het eerste vlak werd
gevonden. Er is geen simpele methode of formule om het aangrenzende
vlak te vinden. We zullen om deze te vinden gebruik maken van de
weergegeven tabel. Nu wordt er voor elk van de 3 aangrenzende vlakken
van S1 gecontroleerd of er aan de volgende voorwaarden wordt voldaan:
(1) Het aangrenzende vlak van S1 grens ook aan S2.
(2) Het vlak is ongelijk aan het voorgaande vlak.
indexpunt aangrenzende
vlakken
0 0, 2, 4
1 1, 2, 4
2 0, 3, 4
3 1, 3, 4
4 0, 2, 5
5 1, 2, 5
6 0, 3, 5
7 1, 3, 5
Er is maar één vlak wat aan deze beide voorwaarden voldoet, en dat is het vlak dat de lijn S1S2
gemeenschappelijk heeft met het voorgaande vlak.
§5.6 Algoritme voor het vinden van het volgende snijpunt
In het nu geselecteerde vlak is al één snijpunt bekend, aangezien het 2 e snijpunt van het voorgaande
vlak ook in dit vlak ligt. Het 2 e snijpunt wordt op gelijke wijze gevonden als de vorige snijpunten, er
gebeurt namelijk het volgende
(1) S1 wordt gelijkgesteld aan S2, dus er wordt voor S1 het punt geselecteerd dat
aanvankelijk voor S2 geselecteerd was.
(2) S2 wordt geselecteerd met behulp van de formule voor , waarbij N twee waarden
kan aannemen, namelijk de waarden die overeenkomen met de variabele coördinaten
binnen het nu geselecteerde vlak. Ook is N ongelijk aan de vorige N.
(3) Als er aan de voorwaarde (( ) ( )) (( ) ( )) wordt
voldaan wordt er een punt geïnterpoleerd, met behulp van de formule voor interpolatie.
Als er voordat deze stappen vier keer zijn uitgevoerd een snijpunt wordt gevonden wordt er een
volgend vlak geselecteerd, volgens het algoritme dat hiervoor beschreven is. Als het vlak wat uit dat
algoritme komt gelijk is aan het eerste vlak, dus iV = iV,start, dan is er een gesloten lijn gecreëerd. Dit is
de lijn die het snijvlak van de betreffende kubus met het hypervlak x4 = 0 voorstelt. Verrassend
genoeg is het enige wat er na het definiëren van alle bovenstaande algoritmes nog moet gebeuren,
het uitvoeren van dit algoritme voor alle 8
kubussen, waarna de volledige doorsnede
van de hyperkubus met x4 = 0 wordt
weergegeven. Aangezien het snijvlak van
elke aparte kubus een polygoon is, is deze
doorsnede een polyhedron. Het algoritme
van één kubus, waarvan het snijvlak met x4
= 0 een zeshoek is, wordt duidelijker
weergegeven in de afbeelding rechts. Hierin
is weer de volgorde van de selectie van
punten weergegeven en de volgorde van de
selectie van vlakken in dikgedrukte letters.
Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus
31

Alle bovenstaande stappen worden dus uitgevoerd voor alle kubussen van de hyperkubus. Dit levert,
als de kubus het hypervlak x4 = 0 snijdt, een polygoon. De doorsnede van de hyperkubus is, als deze
het hypervlak x4 = 0 snijdt, dus een polyhedron met maximaal 8 grensvlakken, waarvan elk een
polygoon is met maximaal 6 ribben. Dit wordt in de onderstaande afbeeldingen geïllustreerd. In de
doorsnede hebben alle grensvlakken een andere kleur
zodat zichtbaar is van welke kubus zij afkomstig zijn,
welke hiernaast zijn weergegeven.
Hieronder is ter verduidelijking in de projectie van een hyperkubus een groene kubus aangegeven. In
deze bovenstaande doorsnedes zijn de groene grensvlakken afkomstig van deze kubus, dus van de
kubus met index 2.
Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus
32

Het is belangrijk te zien dat als het hypervlak zich in de ‘hoek’ van de hyperkubus bevindt, de
doorsnede bij benadering een tetrahedron is. Dit zullen we later gebruiken voor het definiëren van
regulariteit voor polytopen in 4 dimensies.
De rotatie van de hyperkubus in 4 dimensies gebeurt met behulp van rotatiematrices, welke kort in
het volgende hoofdstuk aan bod zullen komen.
Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus
33

6. Rotatie in 4 dimensies
§6.1 Introductie tot matrices
Een mxn-matrix is een rechthoekig getallenschema met m rijen en n kolommen. 19 Als m gelijk is aan n
wordt er gesproken van een vierkante matrix. Een element van een matrix op rij r en in kolom k
wordt genoteerd als Ark. Zo is in de onderstaande vierkant matrix A23 = 7.
A = [
]
Het vermenigvuldigen van matrices levert een nieuwe matrix op. Een mxn-matrix kan alleen
vermenigvuldigd worden met een nxp-matrix, wat een mxp-matrix oplevert. Vermenigvuldiging met
een matrix met andere afmetingen is niet gedefinieerd. Een opmerkelijke eigenschap van
matrixvermenigvuldiging is dat deze niet-commutatief is, wat wil zeggen dat de uitkomst van een
vermenigvuldiging afhangt van welk getal zich aan welke kant van het vermenigvuldigingsteken
bevindt. In feite is het in de meeste gevallen zo dat een vermenigvuldiging niet gedefinieerd is als de
volgorde omgedraaid word behalve bij vermenigvuldiging van vierkante matrices, maar zelfs dan is
de vermenigvuldiging in het algemeen niet-commutatief. Het vermenigvuldigen van een mxn-matrix
A en een nxp-matrix B levert een mxp-matrix op, waarvan de elementen als volgt zijn 20
[
[
] [
]
19 http://mathworld.wolfram.com/Matrix.html, geraadpleegd op 18 januari 2011
20a http://mathworld.wolfram.com/MatrixMultiplication.html, geraadpleegd op 18 januari 2011
20b Beauregard, Linear algebra, blz. 37
∑
In de afbeelding links wordt dit duidelijker weergegeven. Het element van de mxpmatrix
AB, die de uitkomst is van de vermenigvuldiging van de mxn-matrix A en de
nxp-matrix B, op rij r en in kolom k is dus de som van de producten van de
elementen van rij r van matrix A en kolom k van matrix B. Een voorbeeld van een
willekeurige matrixvermenigvuldiging is hieronder weergegeven.
] [
De eenheidsmatrix is de matrix die, wanneer een matrix A met deze matrix vermenigvuldigd wordt,
een matrix oplevert die gelijk is aan A. Een eenheidsmatrix bestaat uit alleen maar enen, met
uitzondering van de elementen waarvoor geldt dat r = k. Hieronder wordt gedemonstreerd dat voor
een 2x2-matrix, de vermenigvuldiging inderdaad geen effect heeft.
*
+ *
+ [
] *
+
]
Hoofdstuk 7: Polytopen in 4 en hogere dimensie s
34

§6.2 Rotatiematrices 21
Een rotatiematrix is een matrix die gebruikt wordt om (een verzameling van) punten te
draaien. In twee dimensies heeft elke rotatiematrix de volgende vorm
( )
( )
[
( )
( )
( ) ]
Deze matrix draait een gegeven punt om de oorsprong, door deze te vermenigvuldigen met
de positiematrix van het punt, op de volgende manier
[ ]
( )
[
( )
( )
] * +
( )
( )
[
( )
( )
] ,
( )
dus na een rotatie over een hoek α, krijgt het punt de volgende coördinaten
( ) ( )
( ) ( )
In drie dimensies kan er om drie assen gedraaid worden, wat respectievelijk de volgende matrices
oplevert
( ) [
( ) [
( ) [
( ) ( ) ]
( ) ( )
( ) ( )
]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ]
Bij verdere bestudering van deze matrices vallen twee dingen op
(1) Bij vermenigvuldiging van de positiematrix met elk van de drie matrices, verandert het
coördinaat van de as waarom gedraaid wordt niet.
(2) De rotatiematrix is een eenheidsmatrix, met uitzondering van een (vierkante) deelmatrix
die gelijk is aan de rotatiematrix voor 2 dimensies.
Er veranderen dus, net als bij tweedimensionale rotatie, twee coördinaten van het gedraaide
punt. Rotatiematrices zijn gedefinieerd voor elke dimensie, maar wij zullen ons alleen
bezighouden met rotatiematrices in 4 dimensies. Net als bij rotatiematrices in lagere
dimensies veranderen er per rotatie maar twee coördinaten, er wordt dus in 4 dimensies om
een vlak gedraaid. Rotatiematrices in 4 dimensies zijn, net als die in 3 dimensies,
eenheidsmatrices met uitzondering van een vierkante deelmatrices die gelijk is aan de
rotatiematrix voor 2 dimensies. Als voorbeeld is hieronder de rotatiematrix voor rotatie om
het x1x2-vlak weergegeven.
( ) [
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
]
21 http://mathworld.wolfram.com/RotationMatrix.html, geraadpleegd op 19 januari 2011
Hoofdstuk 7: Polytopen in 4 en hogere dimensie s
35

7. Polytopen in 4 en hogere dimensies
§7.1 Polychora
Om de eigenschappen van polychora, de 4-dimensionale analogen van polygonen en polyhedra, af te
leiden zullen wij nogmaals gebruik maken van dimensionale analogie. Deze afleidingen zijn geen
sluitende bewijzen, maar zij bieden wel een handvat voor het redeneren met polychora. Op enkele
van deze eigenschappen zullen we later nog dieper ingaan, met onder andere analogen en ook
formules die voor elke gehele dimensie gelden.
We weten dat alle polygonen bestaan uit een oppervlakte, dus een 2-dimensionale ruimte, die wordt
ingesloten door lijnen en dat polyhedra bestaan uit een volume, dus een 3-dimensionale ruimte, die
wordt ingesloten door polygonen. Dus kunnen we afleiden dat polychora bestaan uit een
hypervolume, dus een 4-dimensionale ruimte, die wordt ingesloten door polyhedra, oftewel door
hypervlakken.
We kunnen hiernaast nog een belangrijke eigenschap van polychora afleiden. Voor een polyhedron is
gedefinieerd dat elk rib van de polyhedron gemeenschappelijk moet zijn aan twee van de
grensvlakken van de polyhedron. Het is simpel te zien dat voor polygonen geldt dat elk punt
gemeenschappelijk is aan twee van de ribben van de polygoon, aangezien elke vertex zowel het
eindpunt is van een rib als het beginpunt van het volgende rib. Hieruit kunnen we afleiden dat in een
polychora elk vlak gemeenschappelijk moet zijn aan twee van de hypervlakken van de polychoron.
Opnieuw zullen we ons alleen maar bezighouden met convexe polytopen. Een convexe polychoron is
een polytoop waarvan geen van de hypervlakken die de polychoron begrenst het inwendige
hypervolume van de polychoron snijdt.
Samengevat voldoet een convexe polychoron dus per analoog aan de volgende eigenschappen:
(1) Het inwendige hypervolume van de polychoron wordt begrensd door (een gesloten verzameling
van) polyhedra of hypervlakken.
(2) In een polychoron is elk vlak gemeenschappelijk aan twee polyhedra.
(3) Geen van de begrenzende hypervlakken snijdt het inwendige hypervolume.
§7.2 Vertexfiguren bij polychora
We hebben een vertexfiguur van een punt P van een polyhedron gedefinieerd als de polygoon
waarvan de ribben de vertexfiguren zijn van alle omliggende grensvlakken. Op analoge wijze kunnen
we definiëren dat het vertexfiguur van een punt P van een polychoron, de polyhedron is waarvan de
grensvlakken de vertexfiguren zijn van alle omliggende grenspolyhedra, gegeven dat al deze
vertexfiguren in hetzelfde hypervlak liggen. 22 Om dit wat concreter weer te geven zullen we nu
aantonen dat het vertexfiguur van elk punt van een hyperkubus een tetrahedron als vertexfiguur
heeft, zoals we al zagen bij het bestuderen van de doorsnedes van de hyperkubus. Omdat een
tetrahedron 4 punten heeft en een hypervlak wordt gedefinieerd aan de hand van 4 punten, liggen al
deze punten, en daarmee alle vertexfiguren waar deze tetrahedron uit bestaat, per definitie op één
hypervlak.
22 Coxeter, Regular Polytopes, blz. 128
Hoofdstuk 7: Polytopen in 4 en hogere dimensie s
36

§7.3 De vertexfiguren van een hyperkubus
Allereerst gebruiken we een hyperkubus met de punten (1±1, 1±1, 1±1, 1±1). Als we kunnen
bewijzen dat voor deze hyperkubus geldt dat alle vertexfiguren tetrahedra zijn is dit uiteraard gelijk
bewezen voor alle hyperkubussen, aangezien alle hyperkubussen congruent zijn.
Een tetrahedron in 3 dimensies kan heel simpel geconstrueerd worden door 4
vertices van een kubus te kiezen. In de afbeeldingen links is te zien dat alle
ribben van zo’n tetrahedron diagonalen zijn van een grensvlak van de kubus. In
termen van dimensies kunnen we zeggen dat, aangenomen dat dit een kubus is
waarvan de ribben evenwijdig zijn met de assen van het coördinatenstelsel, van
de 3 coördinaten van elke combinatie van twee van de punten van de tetrahedron er 2 verschillen.
De verschillen hebben natuurlijk allemaal dezelfde grootte, aangezien alle ribben van een kubus even
lang zijn. Bij een kubus met ribbe r levert een constructie op deze manier een tetrahedron op met
ribben van lengte √ .
We kunnen dus zeggen dat als voor 4 gegeven punten dat elk tweetal punten in 2 coördinaten
verschilt, en al deze verschillen gelijk zijn, we te maken hebben met een tetrahedron. Het volgt uit
deze voorwaarde dat de tetrahedron gelijke ribben heeft, namelijk √ bij een verschil van r
tussen coördinaten. Als er niet aan deze eis voldaan wordt is het niet onmogelijk dat we toch te
maken heb met een tetrahedron, maar als er wel aan voldaan is weten we zeker dat we wel met een
tetrahedron te maken hebben. In feite is het voor elke tetrahedron mogelijk om het
coördinatenstelsel zo te definiëren dat er wel aan deze eis voldaan wordt.
In een hyperkubus komen in elke vertex 4 ribben samen. Het vertexfiguur bevat alle punten die
halverwege al deze ribben liggen. Aangezien we een hyperkubus gebruiken met de punten
(1±1, 1±1, 1±1, 1±1), weten dat alle punten van het vertexfiguur op een afstand van 1 van de
betreffende vertex liggen. We kunnen nu makkelijk beredeneren dat elk punt van het vertexfiguur in
twee coördinaten verschilt, met een verschil van 1. Zo verschillen, van het punt halverwege het rib in
de x1-richting en het punt halverwege het rib in de x2-richting, het x1-coördinaat en het x2 coördinaat
met een verschil van 1. We weten dus ook dat het lijnstuk x1x2 een lengte heeft van √ . We weten
dat de 4 punten een 3-dimensionaal figuur en geen 4-dimensionaal figuur definiëren, omdat een
hypervlak gedefinieerd wordt met vier punten en de 4 punten dus per definitie in één hypervlak
liggen. Hierbij hebben we bewezen dat alle vertexfiguren van een hyperkubus tetrahedra zijn.
Hieronder wordt een hyperkubus weergegeven met het vertexfiguur van één punt.
Hoofdstuk 7: Polytopen in 4 en hogere dimensie s
37

§7.4 Reguliere polychora 23
Uit de definitie van reguliere polyhedra kunnen we afleiden, dat een polychoron regulier is als er aan
de volgende eigenschappen wordt voldaan:
(1) Elk van de polyhedra die de polychoron begrenst, is regulier.
(2) Van alle vertices is het vertexfiguur een reguliere polyhedron.
Omdat alle grenspolyhedra volgens deze definitie regulier zijn, weten we dat alle ribben van een
grenspolyhedron van gelijke lengte zijn, en dus alle ribben van de polychoron van gelijke lengte zijn.
Deze lengte stellen we net als bij polyhedra op 2l. Daarnaast weten we, omdat volgens deze definitie
alle vertexfiguren regulier zijn, dat alle grenspolyhedra gelijk zijn. Als een vertex P van een
polychoron namelijk aan verschillende reguliere grenspolyhedra {p,q}, uiteraard met ribben van
lengte 2l, zou grenzen zijn er twee mogelijkheden:
(1) De vertex grenst aan grenspolyhedra met een verschillende p, wat zou resulteren in een
vertexfiguur met reguliere grensvlakken met zijden van verschillende lengte, namelijk 2l cos( /p)
voor verschillende waarden van p. Dit is bijvoorbeeld het geval als de vertex aan een tetrahedron
{3,3} en een kubus {4,3} grenst.
(2) De vertex grenst aan grenspolyhedra met een verschillende q, wat zou resulteren in een
vertexfiguur met vlakken die een verschillende {q} voorstellen. Dit is bijvoorbeeld het geval als de
vertex aan een tetrahedron {3,3} en een octahedron {3,4} grenst.
Beide van deze gevallen, en ook een combinatie van deze gevallen, zou een niet-reguliere
polyhedron als vertexfiguur opleveren, aangezien deze zowel ribben van gelijke lengte als gelijke
grensvlakken moet hebben.
Elk van de hoeken tussen aangrenzende grenshypervlakken is ook gelijk. Dit zullen wij verduidelijken
aan de hand van het begrip hyperpiramide, de 4-dimensionale analoog van een piramide. Een
hyperpiramide kan geconstrueerd worden door buiten het hypervlak van een bepaalde reguliere
polyhedron {p,q} een punt te plaatsen en deze te verbinden met elk van de punten van de
polyhedron. De polyhedron is dus eigenlijk de basis van de hyperpiramide.
De hoeken tussen aangrenzende grenshypervlakken zijn gelijk, omdat alle hoeken
tussen grenshypervlakken die in een vertex P voorkomen, ook voorkomen in de
hyperpiramide met het vertexfiguur van P (wat per definitie een reguliere
polyhedron is een dus gelijke hoeken tussen aanliggende grensvlakken heeft) als
basis en het punt P als top.
Elk grenshypervlak van deze hyperpiramide is een piramide met een polygoon {q} als basis, en de
grensvlakken van elk van deze piramides zijn een gelijkzijdige driehoeken met zijden van lengte l, l en
2l cos( /p). Het aantal grensvlakken r van de basis, kan niet verschillen zonder de hoek tussen de
aangrenzende hypervlakken te veranderen. Hieruit kunnen we concluderen dat r hetzelfde is voor
alle vertices, en dus dat alle vertexfiguren gelijk moeten zijn. Samengevat is een polychoron een
polytoop {p,q,r}, waarvan de grenshypervlaken {p,q}’s zijn met zijde 2l en de vertexfiguren {q,r}’s zijn
met zijde 2l cos( /p). Hier is r het aantal grenspolyhedra in één vertex, en dus het aantal
grensvlakken van de vertexfiguren van de polychoron. We weten ook dat aan de hand van de
definitie van regulariteit de volgende eigenschappen af te leiden zijn:
23 De gevolgen van de definitie van regulariteit in 4 dimensies is gebaseerd op de gevolgen van de
definitie van regulariteit in 3 dimensies zoals beschreven in Coxeter, Regular Polytopes, blz. 126,127
Hoofdstuk 7: Polytopen in 4 en hogere dimensie s
38

(1) Alle ribben van de polychoron zijn gelijk.
(2) Elk van de hoeken tussen aangrenzende grenshypervlakken is gelijk.
(3) Alle reguliere vertexfiguren zijn gelijk.
§7.5 Het aantal reguliere polychora
Om te bepalen welke convexe reguliere polychora er voorkomen in 4 dimensies kunnen we
bestuderen op welke manieren reguliere polyhedra om een ribbe te plaatsen zijn, net zoals het
mogelijk is om te bepalen welke convexe reguliere polychora er voorkomen in 3 dimensies door te
bestuderen op welke manieren reguliere polygonen om een punt te plaatsen zijn. We zijn natuurlijk
op zoek naar een manier waarbij het totaal van alle hoeken in de polyhedra (tussen aangrenzende
vlakken) minder is dan 360 , omdat de polyhedra als het ware in elkaar gevouwen moeten kunnen
worden. Dit is te vergelijken met het tweedimensionale geval, waarbij de som van alle hoeken in de
aangrenzende polygonen aan een punt kleiner moet zijn dan 360 , omdat de polygonen anders niet
in drie dimensies in elkaar gevouwen kunnen worden. Er zijn, net als in twee dimensies, ten minste 3
polyhedra per vertex nodig, omdat er anders nooit een gesloten figuur gevormd kan worden.
Bij kubussen is er tussen twee aangrenzende vlakken een hoek van 90 , dus is het in 4 dimensies
mogelijk om 3 kubussen rond elke ribbe te plaatsen. Een kubus heeft het Schläfli-symbool {4,3}, dus
levert deze methode een polychoron op met het Schläfli-symbool {4,3,3}, wat de hyperkubus (of de
tesseract) is.
Bij tetrahedra is er tussen twee aangrenzende vlakken een hoek van bijna 71 , dus is het in 4
dimensies mogelijk om 3, 4 of 5 tetrahedra rond elke ribbe te plaatsen. Een tetrahedron heeft het
Schläfli-symbool {3,3}, dus levert deze methodes polychora op met het respectievelijk de Schläflisymbolen
{3,3,3}, {3,3,4} en {3,3,5}. Deze polychora worden, in de genoemde volgorde, de
pentachoron (of de 4-simplex), de hexadecachoron (of de 4-kruispolytoop) en de 600-cel.
Zowel de octahedron als de dodecahedron hebben een hoek tussen aangrenzende vlakken van
tussen de 90 en de 120 , dus is het voor beide in 4 dimensies mogelijk om er 3 rond elke ribbe te
plaatsen. Dit levert de 24-cel, met Schläfli-symbool {3,4,3}, en de 120-cel, met Schläfli-symbool
{5,3,3} op.
Aangezien de icosahedron een hoek tussen aangrenzende vlakken heeft van meer dan 120 , is het
niet mogelijk om een polychoron te construeren met behulp van deze polyhedron. In totaal zijn er
dus 6 convexe reguliere polytopen in 4 dimensies. 24
§7.6 Polytopen in dimensie n
Uit de eigenschappen van convexe polygonen, polyhedra en polychora kunnen we algemene
eigenschappen afleiden die gelden voor polytopen in elke gehele dimensie n. Een polytoop van
dimensie n wordt genoteerd als .
(1) De inwendige n-ruimte van de polytoop wordt begrenst door (een gesloten verzameling
van) (n-1)-polytopen of (n-1)-deelruimten. Deze (n-1)-polytopen worden ook wel de cellen van
de polytoop genoemd.
(2) Elke (n-2)-deelpolytoop is gemeenschappelijk aan twee (n-1)-deelpolytopen.
(3) Geen van de begrenzende (n-1)-deelruimten snijdt de inwendige n-ruimte.
24 Dit bewijs is gebaseerd op het bewijs gegeven in Coxeter, Introduction to geometry, blz. 400
Hoofdstuk 7: Polytopen in 4 en hogere dimensie s
39

§7.7 Regulariteit bij polytopen in dimensie n
Bij de definitie van de n-dimensionale vertexfiguren van polyhedra en polychora is te zien, dat deze
altijd bestaan uit (n-1)-dimensionale vertexfiguren. De algemene definitie van een vertexfiguur van
een punt P van een polytoop is de die bestaat uit de vertexfiguren van de omliggende
grenspolytopen . Deze bevat de middelpunten van alle ribben die samenkomen in het punt.
We kunnen induceren dat een polytoop (n > 2) regulier is als er aan de volgende eigenschappen
wordt voldaan:
(1) Elk van de polytopen die de polytoop begrenst, is een reguliere polytoop.
(2) Van alle vertices is het vertexfiguur een reguliere polytoop .
Het Schläfli-symbool voor een polytoop is {p, q, …, v, w}. Het aantal cijfers van het Schläflisymbool
van een n-dimensionale polytoop is n-1. In het algemeen geldt dat de polytoop
{p, q, …, v, w} begrensd wordt door polytopen van de vorm {p, q, …, v} en vertexfiguren heeft van de
vorm {q, …, v, w}. Deze generalisatie geldt ook voor , wanneer we deze noteren als een ‘leeg’
Schläfli-symbool { }. We kunnen ook induceren dat aan de hand van de definitie van regulariteit de
volgende eigenschappen af te leiden zijn voor de polytoop :
(1) Alle ribben van de polytoop zijn gelijk.
(2) Elk van de hoeken tussen aangrenzende grenspolytopen is gelijk.
(3) Alle reguliere vertexfiguren zijn gelijk.
§7.8 Families reguliere polytopen 25
We hebben gezien dat er in 4 dimensies 6 convexe reguliere polychora zijn. Van drie van deze
polytopen, namelijk de tesseract, de simplex en de (familie), kunnen generalisaties gemaakt worden
die gelden in elke gehele positieve dimensie.
§7.8.1 De simplex
Een gelijkzijdige driehoek {3} met zijde r kan geconstrueerd worden in 3-dimensionale ruimte E 3 door
op elk van de drie positieve assen x1, x2 en x3 een punt te plaatsen op een afstand van van de
oorsprong en vervolgens alle punten te verbinden. Een tetrahedron {3,3} met zijde r kan
geconstrueerd worden in 4-dimensionale E 4 door op elke positieve as x1, x2, x3, x4 een punt te
plaatsen op een afstand van van de oorsprong en vervolgens deze punten te verbinden. Een
25 Alle formules in deze paragraaf zijn afkomstig van Coxeter, Regular polytopes, blz. 120-122 en
Kendall, A course in the geometry of n dimensions, blz. 16
√
simplex, of beter gezegd een 4-simplex, kan geconstrueerd worden in 5-dimensionale ruimte E 5 door
op elke positieve as x1, x2, x3, x4, x5 een punt te plaatsen op een afstand van van de oorsprong en
vervolgens deze punten te verbinden. Het is nu duidelijk gemaakt dat in elke dimensie een E n+1 een
n-simplex geconstrueerd worden met zijde r, door op elke positieve as x1, x2, ..., xn+1 een punt te
plaatsen op een afstand van van de oorsprong. De (n+1)-dimensionale ruimte is natuurlijk geen
√
noodzaak voor een n-simplex, maar helpt ons om een simpele regelmaat vast te stellen om een
simplex te construeren. De n-simplex kan voorkomen in elke gehele positieve dimensie n. Een
0-simplex is simpelweg een punt en een 1-simplex een lijnstuk. We zullen een n-simplex noteren als
αn. Het Schläfli-symbool voor αn is een reeks 3’en waarbij zoals altijd het aantal getallen gelijk is aan
n-1.
√
√
Hoofdstuk 7: Polytopen in 4 en hogere dimensie s
40

Zoals af te leiden is uit de manier waarop we simplexen construeren bevat elke n-simplex n+1
punten, aangezien deze te construeren is door in E n+1 door op elke as een punt te plaatsen.
De onderdelen van een n-simplex, zijn alle mogelijke k-simplexen die gevormd worden door de n+1
punten van de n-simplex. Zo bevat een n-simplex (
{3}, (
) tetrahedra {3,3}, ... en (
(
)
) lijnstukken, (
) gelijkzijdige driehoeken
) = n+1 cellen. De algemene formule voor het aantal αk’s is
§7.8.2 De kruispolytoop
Er kan in ruimte E n niet alleen maar een (n-1)-simplex worden geconstrueerd met punten op de
positieve assen, maar met elke mogelijke van de 2 n combinaties van positieve en negatieve assen. Al
deze simplexen samen vormen een n-kruispolytoop. Elke n-kruispolytoop bestaat dus uit 2 n
(n-1)-simplexen. De vierkant {4} is een 2-kruispolytoop, en van de Platonische soliden is de
octahedron {3,4} de 3-kruispolytoop. Net als simplexen kunnen kruispolytopen voorkomen in elke
positieve gehele dimensie. We zullen een n-kruispolytoop noteren als βn. Het Schläfli-symbool voor
βn is een reeks 3’en gevolgd door een 4, oftewel {3, 3, …,3, 4}.
Een kruispolytoop βn is ook te beschouwen als een dubbele piramide met βn-1 als basis en met de
toppen in tegengestelde richtingen in de n e dimensie. Aangezien de n-kruispolytoop geconstrueerd
wordt met niets anders dan (n-1)-simplexen, bestaat een βn uit niets anders dan αk’s (k < n). Voor ,
het aantal αk’s in βn, geldt
waarbij het aantal αk’s in βn-1 is. De staat in deze formule omdat elke αk in βn-1 zich ook in
βn bevindt. In βn komt er voor elke
twee keer een nieuwe αk bij, omdat er voor elke αk-1 twee
αk-1’s zijn, met de αk-1 als basis. Zo geldt voor het aantal ribben in de octahedron β3 de formule
aangezien er voor elk van de 4 vertices in β2 een nieuw rib
is. Er is bekend dat geldt N0 = 2n, aangezien een βn 2n punten bevat.
We kunnen nu met inductie de volgende formule bewijzen
(
).
Om deze formule te bewijzen, hoeven we alleen maar te bewijzen dat deze ten eerste geldt voor
k = 0 en ten tweede dat als deze formule geldt voor k-1, deze ook geldt voor k.
(1) Er is bekend dat N0 = 2n, aangezien elke kruispolytoop 2n punten bevat. Dit komt overeen
met de bovenstaande formule, aangezien
(2) We veronderstellen dat
het bewijs voltooien
(
(
((
((
(
)
) (
) (
) (
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
( ) ( )
))
))
( ) (
( ) ) (
)
( )
( ) )
( ) ( )
( ) ( ) )
). Hiermee kunnen we
Hoofdstuk 7: Polytopen in 4 en hogere dimensie s
41

(
( )
( ) ( ) )
(
( ) ( ) )
( )
Hierbij hebben we bewezen dat voor Nk, het aantal αk’s in βn, geldt dat (
formule is natuurlijk alleen gedefinieerd als k < n.
). Deze
§7.8.1 De hyperkubus
Bij de introductie tot 4 dimensies hebben we, beginnende met een punt, steeds door het verschuiven
van een (n-1)-hyperkubus in de n e dimensie een n-hyperkubus gecreëerd. Dit proces kan tot in elke
dimensie gedaan worden, om zo een n-hyperkubus te construeren. Deze zullen we noteren als γn.
Het Schläfli-symbool voor γn is 4 gevolgd door een reeks 3’en, oftewel {4, 3, ..., 3, 3}. Aangezien een
hyperkubus alle punten (±1, ±1, ..., ±1) bevat, heeft deze 2 n vertices.
In een γn is , het aantal γk’s, gelijk aan
.
In deze formule staat vermenigvuldigd met twee. Dit is omdat elke γk in γn-1 zich ook in γn
bevindt, en omdat elke γk in γn-1 zich ook bevindt in de γn-1 die verplaatst is in de n e dimensie om de γn
te construeren. Daar wordt
bij opgeteld, omdat elke γk-1 in γn-1 een γk traceert als de γn-1
verplaatst wordt in de n e dimensie om γn te construeren.
We kunnen nu met inductie de volgende formule bewijzen
(
).
Om deze formule te bewijzen, hoeven we alleen maar te bewijzen dat ten eerste deze geldt voor
k = 0 en ten tweede dat als deze formule geldt voor k-1, deze ook geldt voor k.
(1) Er is bekend dat N0 = 2 n , aangezien elke hyperkubus 2 n punten bevat. Dit komt overeen
met de bovenstaande formule, aangezien
(2) We veronderstellen dat
we het bewijs voltooien
(
(
)
((
(
) (
) (
) (
( )
(
( )
( )
(
( )
( ) ( )
(
( )
( ( )
( ) )
))
( ) (
)
( )
( ) ( ) )
( )
( ) ( ) )
( )
( ) )
)
) (
) . Hiermee kunnen
(
( ) ) ( )
Hierbij hebben we bewezen dat voor Nk, het aantal γk’s in γn, geldt dat (
formule is natuurlijk alleen gedefinieerd als k > 0.
). Deze
Hoofdstuk 7: Polytopen in 4 en hogere dimensie s
42

8. Gegeneraliseerde formule van Euler
§8.1 Formule van Euler in elke dimensie
In de vorige paragraaf hebben we een verband gelegd tussen het aantal vertices, ribben, polygonen
en polyhedra van een vierdimensionale polytoop. Daarvoor is de formule van Euler al aangetoond
voor polyhedra. Wij zullen nu een algemeen verband afleiden tussen de elementen van polytopen,
dat in elke positieve gehele dimensie geldt. We weten de formules voor lijnstukken , polygonen
, polyhedra en polychora . Voor deze polytopen geldt respectievelijk:
(1) N0 = 2,
want een lijnstuk heeft 2 eindpunten.
(2) N0 – N1 = 0,
want een polygoon heeft net zoveel vertices als ribben.
(3) N0 – N1 + N2 = 2,
want voor een polyhedron geldt de formule van Euler.
(4) N0 – N1 + N2 – N3 = 0,
zoals in het vorige hoofdstuk aannemelijk is gemaakt, geldt deze formule voor alle polychora.
Deze formules zijn te generaliseren tot:
(1) N0 – N1 + N2 – ... ∓ Nn-1 ± Nn = 1
(2) N-1 – N0 + N1 – ... ± Nn-1 ∓ Nn = 0
(3) N0 – N1 + N2 – ... + (-1) n-1 Nn-1 = 1 – (-1) n
Al deze formules houden exact hetzelfde in, en elk van deze formules is dus bewezen als één van de
formules bewezen is. We zullen ons de rest van dit hoofdstuk bezighouden met het bewijzen van
formule (2) voor families reguliere polytopen en (1) voor de algemene situatie.
§8.2 De gegeneraliseerde formule van Euler in families reguliere polytopen
Om een algemene formule af te leiden voor het aantal alle k-dimensionale deelpolytopen in een
simplexen, kruispolytopen en hyperkubussen, is er enige kennis vereist van het binomium van
Newton. Het binomium van Newton is een simpele formule, waarmee de macht van de som van
twee getallen kan worden uitgedrukt in een som van termen waarin de machten van de grootheden
afzonderlijk voorkomen. 25
De macht van elke 2 getallen kan worden uitgedrukt in een dergelijke som op de onderstaande
manier
( )
( )
In het algemeen geldt dat
( ) (
) (
) (
25 http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html, geraadpleegd op 5 januari 2011
26 Coxeter, Regular Polytopes, blz. 128
) (
) ∑ (
§8.2.1 De simplex
We hebben voor het aantal αk’s in αn de volgende formule gevonden
dus (
(
),
), (
), (
), (
), ..., (
)
). Wat opvalt is dat deze
getallen overeenkomen met de coëfficiënten van in de macht ( ) . 26 Er geldt namelijk
dat
Hoofdstuk 8: De gegeneraliseerde formule van Euler
43

( ) (
wat dus gelijk is aan
∑
.
) (
) (
) (
) ,
In de bovenstaande som geldt dus, dat de coëfficiënt van gelijk is , of dat de coëfficiënt van
gelijk is aan . Door in deze formule x gelijk te stellen aan –1, kunnen we zeggen dat
∑
(
) (
) (
) (
Dus geldt de gegeneraliseerde formule van Euler voor simplexen.
§8.2.2 De kruispolytoop
We hebben voor het aantal αk’s in βn de volgende formule gevonden
dus (
(
),
), (
), (
), (
) ( )
), ..., (
). Wat opvalt is
dat deze getallen overeenkomen met de coëfficiënten van in de macht ( ) . Er geldt
namelijk dat
( ) (
wat dus gelijk is aan ∑
∑
) (
) (
) (
) ,
. Hieruit kunnen we afleiden dat de som
gelijk is aan ( ) . In de bovenstaande som geldt dus weer, dat de coëfficiënt van
gelijk is , of dat de coëfficiënt van gelijk is aan . Door in deze formule x gelijk te stellen
aan –1, kunnen we zeggen dat
∑
( )
( ) (
(
)( ) (
) (
)( ) (
) (
)( ) (
)( )
) ( )
( ) ( )
Dus geldt de gegeneraliseerde formule van Euler ook voor kruispolytopen.
§8.2.3 De hyperkubus
We hebben voor het aantal γk’s in γn de volgende formule gevonden
dus (
(
),
), (
), (
), ..., (
). Wat opvalt is dat deze
getallen overeenkomen met de coëfficiënten van in de macht ( ) . Er geldt namelijk dat
( ) (
wat dus gelijk is aan
∑
.
) (
) (
) (
In de bovenstaande som geldt dus, dat de coëfficiënt van gelijk is . Door in deze formule x gelijk
te stellen aan –1, kunnen we zeggen dat
∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
Dus geldt de gegeneraliseerde formule van Euler voor hyperkubussen.
) ,
Hoofdstuk 8: De gegeneraliseerde formule van Euler
44

§8.3 Het incidentiegetal
Euler’s formule behoort toe aan de topologie, die zoals gezegd geen aandacht besteedt aan en
rechtlijnigheid, maar zich bezighoudt met de manier waarop figuren met elkaar verbonden zijn. Een
polytoop Πn kan gebogen of uitgerekt worden zonder dat daarbij de topologische eigenschappen van
de polytoop veranderd worden. De eigenschappen van elke polytoop zijn vanuit een topologisch
oogpunt bepaald door de relaties van tussen de vertices , de ribben , de grensvlakken , en
alle andere deelpolytopen. Alle (topologische) eigenschappen van een polytoop zijn bekend als we
weten welke ’s cellen zijn van welke ’s, voor k = 0, 1, 2, …, n.
Dit wordt weergegeven met behulp van incidentiegetallen
aannemen, worden de ’s genoteerd worden als , , ...,
. Voor alle mogelijke waarden die k kan
, waarbij Nk het aantal ’s is voor
één bepaalde waarde van k. Het incidentie getal kan maar twee verschillende waarden aannemen:
(1)
(2)
, wat inhoudt dat
, wat inhoudt dat
geen cel is van
wel een cel is van
Het incidentiegetal kan tot op bepaalde hoogte dus ook beschouwd worden als een binair getal, ten
eerste omdat deze alleen de waarden 0 en 1 kan aannemen, ten tweede omdat deze eigenlijk meer
een staat (‘waar of niet waar, cel of geen cel’) weergeeft dan een getal in de rekenkundige zin.
Voor elke k, zijn deze getallen duidelijk weer te geven in een incidentiematrix of simpelweg een
tabel, met Nk-1 rijen en Nk kolommen. Rij i geeft aan welke ’s begrensd worden door
kolom j geeft aan welke ’s
A B C D
1 1 1 1
BCD ACD ABD ABC
AD 0 1 1 0
BD 1 0 1 0
CD 1 1 0 0
BC 1 0 0 1
AC 0 0 0 1
AB 0 0 1 1
begrenzen.
AD BD CD BC AC AB
A 1 0 0 0 1 1
B 0 1 0 1 0 1
C 0 0 1 1 1 0
D 1 1 1 0 0 0
ABCD
BCD 1
ACD 1
ABD 1
ABC 1
.
.
, en
Hoofdstuk 8: De gegeneraliseerde formule van Euler
45

Dit zijn de incidentiematrices van een tetrahedron ABCD, welke uiteraard de ribben AB, AC, AD, BC,
BD en CD, en de grensvlakken ABC, ACD, ABD en BCD bevat.
We nemen aan dat alle elementen een gemeenschappelijk element hebben, wat ten gevolge
heeft dat voor elke j = 0, 1, 2, ..., N0 geldt
,
en dus dat de incidentiematrix van k = 0 bestaat uit een rij enen. Aangezien alle ’s cellen zijn van
de polytoop , geldt er voor elke i = 1, 2, ..., Nn-1 dat
,
en dus dat de incidentiematrix van k = n bestaat uit een kolom enen.
§8.4 K-ketens
Een k-keten is gedefinieerd als de som een selectie van ’s voor een vaststaande k, bijvoorbeeld de
som van elementen + + . Zo is een 1-keten een verzameling ribben, en een 2-keten een
verzameling polygonen. De som van twee k-ketens bestaat uit de niet-gemeenschappelijke
elementen van beide k-ketens. Een k-keten kan genoteerd worden als
∑
,
waarbij de coëfficiënt xj (die net als het incidentiegetal alleen de waarden 0 en 1 kan aannemen)
geeft aan of
worden als
∑
onderdeel uitmaakt van de selectie ’s. De som van twee k-ketens kan genoteerd
+ ∑
= ∑ ( )
Hierbij wordt met de coëfficiënten xj en yj modulair gerekend, met modulus 2. Voor de rest van dit
hoofdstuk zullen wij bij zowel deze coëfficiënten als bij incidentiegetallen gebruik uitsluitend gebruik
maken van rekenen met modulus 2.
Dit stelt ons ertoe in staat om op een vrij simpele manier een begrenzing (de verzameling ’s die
bepaalde ’s begrenst) te definiëren aan de hand van k-ketens. Een begrenzing van een k-keten is
nu namelijk te definiëren als de (k-1)-keten van de som van de begrenzingen van alle ’s in de
k-keten. Als een k-keten twee ’s bevat met een gemeenschappelijke ’s, is dit uiteraard geen
onderdeel van de begrenzing van de k-keten. Als een simpel voorbeeld hiervan kunnen we ons twee
verbonden kubussen voorstellen met één gemeenschappelijk grensvlak. De begrenzing van de
k-keten (in dit specifieke geval een 3-keten) van de kubussen , bevat natuurlijk alle grensvlakken
van beide kubussen, met uitzondering van het gemeenschappelijke vlak. We kunnen beredeneren
dat door de definitie van de begrenzing van een k-keten als de som van de begrenzingen van alle
’s in de k-keten, dit vlak zich inderdaad ook niet in deze (k-1)-keten, die de begrenzing van de
k-keten van de twee kubussen voorstelt, bevindt. In het algemeen in het zo dat de begrenzing
van een polytoop een k-keten is waarvan de begrenzing een ‘lege’ (k-1)-keten is. De begrenzing
van is dus een onbegrensde k-keten. Dit is het geval omdat van een polytoop elke
(n-1)-deelpolytoop gemeenschappelijk is aan twee n-deelpolytopen . In de begrenzing van
de n-keten van de n-deelpolytopen wordt elke (n-1)-deelpolytoop die aan twee (of meer)
van n-deelpolytopen grenst opgeheven, dus aangezien alle (n-1)-deelpolytopen aan twee
(n-2)-deelpolytopen grenzen, is de begrenzing van de n-keten een lege (n-1)-keten. Zo is de
begrenzing van een enkele kubus een onbegrensde 2-keten van de grensvlakken van de kubus.
Hoofdstuk 8: De gegeneraliseerde formule van Euler
46

Het is belangrijk om op te merken dat in de deze context de term onbegrensd wijst op het feit dat de
k-keten geen grenzen heeft, de keten is dus niet oneindig.
De definitie van een begrenzing is zoals gezegd de verzameling ’s die bepaalde ’s begrenst. In
termen van incidentiegetallen bestaat de begrenzing van
incidentiegetal
∑
, dus de begrenzing is te noteren als
.
Deze formule is samen met de formule van een k-keten
∑
,
te combineren tot de formule voor de begrenzing van een k-keten
∑ ∑
.
uit alle ’s waarvoor geldt dat het
Voor een onbegrensde k-keten geldt altijd de volgende voorwaarde, als er modulair gerekend wordt
met modulus 2
(1a) ∑ ∑
k-keten. Hieruit volgt de onderstaande gelijkheid.
(1b) ∑
, voor elke i.
, want de begrenszin van een onbegrensde k-keten is een lege
Een onbegrensde k-keten is begrenzend, als deze een (k+1)-keten ∑
geval als er coëfficiënten yl bestaan waarvoor geldt, opnieuw rekenend met modulus 2
(2) xj = ∑
§8.5 K-ketens als vectoren
We kunnen een k-keten ∑
, voor elke j.
begrenst. Dit is het
beschouwen als een ‘vector’, waarvan de componenten
x1, x2, …, xNk gelijk zijn aan 0 of 1 (oftewel, er wordt bij deze vectoren gerekend met modulus 2). Deze
vectoren stellen
’s voor, in de zin dat als een component xj van de vector gelijk is aan 0,
deel uitmaakt van de k-keten en als xj gelijk is aan 1,
geen
wel deel uitmaakt van de k-keten. We
kunnen in plaats van de componenten van de vector te beschouwen als een soort van binaire waarde
die aangeeft of een
beschouwen als de
wel of niet deel uitmaakt van de k-keten, de componenten van de vector ook
’s zelf. De componenten van de vector, of beter gezegd de vectoren die een
component van de vector voorstellen, zijn lineair onafhankelijk. Lineaire onafhankelijk bij ‘normale’
vector houdt in dat geen van de vectoren uitgedrukt kan worden in een lineaire combinatie van de
andere vectoren, dus bijvoorbeeld kan een vector ⃗⃗⃗⃗ niet geschreven worden als ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . In deze context houdt lineaire onafhankelijkheid in dat geen enkele
uitgedrukt kan worden als de ‘som’ van andere
’s. Al deze lineair onafhankelijke ‘vectoren’ vormen
de basis van een vectorruimte V, in de zin dat elke vector binnen de vectorruimte uitgedrukt kan
worden als een lineaire combinatie van deze Nk vectoren. Met andere woorden, alle k-ketens (voor
één bepaalde) kunnen gerepresenteerd worden in een Nk-dimensionale vectorruimte. Nu is ook
duidelijk waarom (1b) volgt uit (1a). De gelijkheid (1a) geeft namelijk aan dat de begrenzing van
een onbegrensde k-keten is. In termen van vectoren, de vector die de begrenzing van de k-keten
representeert in de vectorruimte V is gelijk aan de nulvector. We kunnen (1a) dus herschrijven als
∑ ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ .
Hoofdstuk 8: De gegeneraliseerde formule van Euler
47

Dit is natuurlijk alleen mogelijk als alle componenten van deze vector gelijk zijn aan de nulvector,
oftewel
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ .
Van de vectorruimte V vormen alle onbegrensde k-ketens een deelruimte, waarvan de dimensie
gelijk is aan het aantal onafhankelijke oplossingen van de Nk-1 lineaire vergelijkingen ∑
van de Nk onbekende coëfficiënten xj. Deze deelruimte bevat alle vectoren die corresponderen met
onbegrensde k-ketens. Ook alle begrenzende onbegrensde k-ketens vormen een deelruimte,
waarvan de dimensie gelijk is aan het aantal onafhankelijke begrenzende onbegrensde k-ketens.
Deze deelruimte bevat alle vectoren die corresponderen met begrenzende onbegrensde k-ketens.
§8.6 Rang
Om het aantal dimensies van de twee bovenstaande deelruimten te berekenen, hebben we het
begrip rang nodig. De rang ρ van een matrix is het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen en
kolommen. Elke andere rij of kolom is uit te drukken als een lineaire combinatie van andere rijen of
kolommen. Zo is van de onderstaande matrix de rank gelijk aan 3, omdat er 3 onafhankelijke rijen
zijn. Er zijn ook 3 onafhankelijke kolommen, want het aantal onafhankelijke rijen is altijd gelijk aan
het aantal onafhankelijke kolommen.
[
]
Rangen zijn ook erg bruikbaar bij stelsels vergelijkingen. Een stelsel vergelijkingen kan namelijk met
matrices genoteerd worden. Zo kan het stelsel
genoteerd worden als , waarbij
[
[
[
]
]
]
De oplossingen van dit stelsel van vergelijkingen zijn hieronder weergegeven.
∈
Te zien is dat dit stelsel 2 afhankelijke variabelen en 1 onafhankelijke variabele heeft. Wanneer we
dit stelsel vergelijkingen meetkundig bekijken, houdt dit in dat het vlak , het vlak
en het vlak een gemeenschappelijke snijlijn hebben. We
kunnen ook zeggen dat de oplossing van het stelsel vergelijkingen een 1-dimensionale deelruimte
Hoofdstuk 8: De gegeneraliseerde formule van Euler
48

van E 3 is. Als we nu de rank van de matrix A bepalen zien we dat deze gelijk is aan 2, want de
onderste rij van de matrix is te verkrijgen door de middelste rij met 2 te vermenigvuldigen.
Elke oplossing van een vergelijking is ofwel afhankelijk ofwel onafhankelijk. We hebben in het
bovenstaande voorbeeld gezien dat de rank ρ, dus het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen
en kolommen, gelijk is aan het aantal afhankelijke oplossingen. We kunnen dus concluderen dat er
voor een stelsel lineaire vergelijkingen van N variabelen met een bijbehorende matrix A met rank ρ
geldt dat het aantal onafhankelijke oplossingen gelijk is aan
§8.7 De rang van een incidentiematrix
Laat ρk de rang zijn van de incidentiematrix van
Nk-1 vergelijkingen met Nk onbekenden, namelijk de vergelijkingen ∑
. De incidentiematrix behoort aan een stelsel van
voor elke i. Zoals
hierboven is uitgelegd is het aantal onafhankelijke oplossingen, en dus het aantal onbegrensde
k-ketens gelijk aan
.
Zoals we bij de tetrahedron gezien hebben, bestaat de incidentiematrix
uit een rij enen. De rang
van een rij (oftewel een 1xn-matrix) enen is natuurlijk 1, dus kunnen we zeggen dat
.
Aangezien alle ’s cellen zijn van de polytoop , weten we dat de incidentiematrix van
bestaat uit een kolom (oftewel een mx1-matrix) enen. We weten dus ook dat
§8.8 Bewijs van de gegeneraliseerde formule van Euler
Met de vergelijking ∑
kunnen vectoren (x1, x2, …, xNk) gedefinieerd worden, welke
lineaire combinaties zijn van de kolommen van de incidentiematrix van
. Het aantal
onafhankelijke vectoren, en daarmee het aantal begrenzende onbegrensde k-ketens, is gelijk aan de
rank van de incidentiematrix .
Om de gegeneraliseerde formule van Euler te kunnen bewijzen, moeten we een voorwaarde stellen
aan het soort polytopen. De gegeneraliseerde formule van Euler geldt namelijk alleen maar voor
enkelvoudig samenhangende polytopen. Dit zijn simpel gezegd polytopen waarin geen gaten
voorkomen. Alle reguliere polytopen voldoen automatisch aan deze voorwaarde.
In een enkelvoudig samenhangende polytoop is het zo dat elke k-keten de begrenzing is van een
bepaalde (k+1)-keten. Dit geldt ook voor vertices, aangezien er wordt aangenomen dat alle
elementen van een polytoop een gemeenschappelijk element bevatten. Hieruit volgt dat elke
onbegrensde k-keten ook een begrenzing is. Met andere woorden, het aantal onbegrensde k-ketens
gelijk is aan het aantal begrenzende onbegrensde k-ketens. Dus geldt er
∓
Hoofdstuk 8: De gegeneraliseerde formule van Euler
49

( ) ( ) ( ) ∓ ( )
⏟
∓ ∓
∓ ∓
Hiermee hebben we de gegeneraliseerde formule van Euler bewezen 27 , namelijk
∓
27 Dit bewijs is geleverd door de Franse wiskundige Henri Poincaré, en wordt beschreven in Coxeter,
Regular Polytopes, blz. 165-171
Hoofdstuk 8: De gegeneraliseerde formule van Euler
50

Samenvatting en conclusie
We hebben voor dit onderzoek de vraag gesteld: Wat voor regelmaat is er te ontdekken in het aantal
deelpolytopen in reguliere polytopen van elke dimensie? Allereerst hebben we polygonen en
polyhedra behandeld, om een idee te krijgen van de elementaire eigenschappen van polytopen.
We hebben ontdekt dat er een oneindig aantal convexe reguliere polytopen zijn in twee dimensies,
en precies vijf convexe reguliere polytopen in drie dimensies en hebben deze geconstrueerd. Ook
hebben we gedefinieerd wat regulariteit betekend voor polytopen in 2 en 3 dimensies.
In een polygoon geldt natuurlijk dat er evenveel ribben als vertices zijn, dus hebben we makkelijk de
gelijkheid op kunnen stellen
.
Na een korte introductie tot grafentheorie te hebben gegeven, bewezen we met behulp van
grafentheorie dat de formule van Euler geldt voor alle polyhedra
.
Ook zijn we kort op honingraten ingegaan, welke omdat ze zowel eigenschappen van polytopen in 3
als polytopen in 4 dimensies bevatten, een goede overbrugging zijn tussen deze twee.
Vervolgens hebben we dimensionale analogie geïntroduceerd en hebben hiermee dimensie 4 en
hoger uitgelegd. Zo zagen we dat de hyperkubus, de vierdimensionale analoog van de kubus,
simpelweg te construeren is door een kubus in de vierde dimensie te verplaatsen. We zagen ook dat
het verrassend simpel is om het concept van Euclidische ruimten en Cartesiaanse coördinatenstelsels
door te trekken naar elke dimensie. Een Cartesiaanse coördinatenstelsel in dimensie n wordt
namelijk gewoon gedefinieerd met n onderling loodrechte assen, en elk punt in deze ruimte wordt
gedefinieerd aan de hand van n coördinaten. Elk van deze coördinaten is de afstand van de
loodrechte projectie van het betreffende punt op één van de n (n-1)-ruimten.
Daarna zijn we kort ingegaan op projecties, welke erg bruikbaar zijn omdat de topologische
eigenschappen van de geprojecteerde polytoop onveranderd blijven. We hebben een algemene
functie opgesteld voor projectie van een n-ruimte op een (n-1)-ruimte, die dus ook geldt voor
projectie van E 4 op E 3 . We hebben geconcludeerd dat er voor elk coördinaat xN’ van een
geprojecteerd punt geldt dat
.
Om een nog beter begrip te krijgen van polytopen in 4 dimensies, hebben we vervolgens uitgelegd
hoe we door middel van een zelfgemaakt programma in staat zijn om de doorsnedes van de
hyperkubus te zien, net zoals een tweedimensionaal wezen de doorsnedes van een kubus zou
kunnen bestuderen. Wat we bijvoorbeeld zagen is de doorsnede in de ‘hoek’ van de hyperkubus bij
benadering een tetrahedron is, wat we verderop ook volledig hebben bewezen. Ook hebben we kort
uitgelegd hoe rotatie werkt in 4 dimensies met matrices, en zagen we aan de hand hiervan dat er in 4
dimensies om een vlak gedraaid word.
Samenvatting en conclusie
51

Na een begrip te hebben gekregen van ruimte in 4 of meer dimensies, hebben we uitgelegd wat
polychora zijn en welke eigenschappen hiervan we kunnen afleiden uit de eigenschappen van
polygonen en polyhedra met behulp van dimensionale analogie. Hierna hebben de definitie
regulariteit met behulp van vertexfiguren doorgetrokken naar 4 dimensies en hebben we verklaard
waarom deze definitie van regulariteit alle ‘verwachte’ eigenschappen van reguliere polychora met
zich meedraagt. We hebben aangetoond dat er in 4 dimensies niet meer dan zes reguliere polytopen
zijn.
Na een behandeling van polychora, hebben het begrip polytoop alsook het begrip regulariteit
gegeneraliseerd. We concludeerden dat elke polytoop voor n > 2 (dus wel polyhedra, maar niet
polygonen), voldoen aan de volgende eigenschappen
(1) De inwendige n-ruimte van de polytoop wordt begrenst door (een gesloten verzameling
van) (n-1)-polytopen of (n-1)-deelruimten. Deze (n-1)-polytopen worden ook wel de cellen van
de polytoop genoemd.
(2) Elke (n-2)-deelpolytoop is gemeenschappelijk aan twee (n-1)-deelpolytopen.
(3) Geen van de begrenzende (n-1)-deelruimten snijdt de inwendige n-ruimte.
Deze polytopen zijn regulier als geldt dat
(1) Elk van de polytopen die de polytoop begrenst, is een reguliere polytoop.
(2) Van alle vertices is het vertexfiguur een reguliere polytoop .
We hebben ook gezien dat we een polytoop kunnen weergeven met het Schläfli-symbool
{p, q, …, v, w}. Het aantal cijfers van het Schläfli-symbool van een n-dimensionale polytoop is n-1. In
het algemeen geldt dat de polytoop {p, q, …, v, w} begrensd wordt door polytopen van de vorm
{p, q, …, v} en vertexfiguren heeft van de vorm {q, …, v, w}. We hebben konden met behulp van de
bovenstaande voorwaarden voor regulariteit ook de volgende eigenschappen van reguliere
polytopen afleiden.
(1) Alle ribben van de polytoop zijn gelijk.
(2) Elk van de hoeken tussen aangrenzende grenspolytopen is gelijk.
(3) Alle reguliere vertexfiguren zijn gelijk.
Met behulp van de formule van Euler voor polyhedra hebben we de volgende formule afgeleid, die
zowel geldt voor honingraten als voor polychora
.
Er zijn 3 families reguliere polytopen die in elke dimensie voorkomen. Voor deze families hebben als
eerste formules afgeleid voor het aantal k-dimensionale deelpolytopen. Voor de n-simplex αn, de nkruispolytoop
βn en voor de n-hyperkubus γn gelden respectievelijk de formules
(1) (
)
(2) (
(3) (
)
)
Ten slotte gingen we in op de gegeneraliseerde formule van Euler en probeerden deze te bewijzen.
Eerst hebben we voor de drie families reguliere polytopen aangetoond dat er geldt dat
(1) Voor de simplex komen de uitkomsten van (
van in ( ) .
) overeen met de coëfficiënten
Samenvatting en conclusie
52

(2) Voor de kruispolytoop komen de uitkomsten van (
coëfficiënten van in ( ) .
(3) Voor de hyperkubus komen de uitkomsten van (
) overeen met de
) overeen met de
coëfficiënten van in ( ) .
Door in elk van deze gevallen x gelijk te stellen aan –1, krijgen we
N-1 – N0 + N1 – ... ± Nn-1 ∓ Nn = 0,
oftewel de gegeneraliseerde formule van Euler en we dus hebben we kunnen concluderen dat deze
geldt voor alle 3 de families reguliere polytopen.
Ten slotte hebben we de gegeneraliseerde formule van Euler bewezen voor alle enkelvoudig
samenhangende polytopen. We hebben gezien dat alle topologische eigenschappen van een
polytoop bekend zijn, als we weten we welke ’s cellen zijn van welke ’s voor k = 0, 1, 2, …,
n. Dit kan worden weergegeven met het incidentiegetal
, wat aangeeft of een
een cel is van
. Voor elke k is dit duidelijk weer te geven in een incidentiematrix met Nk-1 rijen en Nk kolommen.
Er geldt dat
bevat.
, aangezien we aannamen dat elke polytoop een gemeenschappelijk element
Een k-keten is gedefinieerd als de som een selectie van ’s voor een vaststaande k. De som van
twee k-ketens bestaat uit de niet-gemeenschappelijke elementen van beide k-ketens. Een k-keten
kan genoteerd worden als
∑
,
en de som van twee k-ketens kan genoteerd worden als
∑
+ ∑
= ∑ ( )
waarbij gerekend wordt met modulus 2. Een begrenzing van een k-keten is de verzameling ’s die
een die de ’s van de k-keten begrenzen, oftewel de (k-1)-keten van de som van de begrenzingen
van alle ’s in de k-keten. Een begrenzing is dus te noteren als
∑
.
Voor een onbegrensde k-keten geldt altijd de volgende voorwaarde
(1) ∑
, voor elke i.
Deze begrensd een (k+1)-keten ∑
(2) xj = ∑
, voor elke j.
,
, als er coëfficiënten yl bestaan waarvoor geldt
We zagen dat we k-ketens ook kunnen beschouwen als vectoren in een Nk-dimensionale
vectorruimte V, waarbij alle componenten x1, x2, ..., xNk staan voor één
. Van deze vectorruimte
vormen alle onbegrensde k-ketens een deelruimte, waarvan de dimensie gelijk is aan het aantal
onafhankelijke oplossingen van de Nk-1 lineaire vergelijkingen ∑
van de Nk onbekende
coëfficiënten xj. Alle begrenzende onbegrensde k-ketens vormen een deelruimte, waarvan de
dimensie gelijk is aan het aantal onafhankelijke begrenzende onbegrensde k-ketens.
Het getal ρk is de rang, welke het aantal lineair onafhankelijke rijen/kolommen aangeeft, van de
incidentiematrix van
. Deze behoort aan een stelsel van Nk-1 vergelijkingen met Nk onbekenden,
Samenvatting en conclusie
53

namelijk de vergelijkingen ∑
voor elke i. We konden concluderen dat het aantal
onafhankelijke oplossingen, en dus het aantal onbegrensde k-ketens gelijk is aan
.
Ook zagen we dat het aantal begrenzende onbegrensde k-ketens gelijk is aan de rank van de
incidentiematrix
, dus aan . In een enkelvoudig samenhangende polytoop is elke
onbegrensde k-keten begrenzend, dus
.
Hieruit hebben we de gegeneraliseerde formule van Euler kunnen afleiden
∓ .
Dus hebben we een regelmaat gevonden in het aantal punten, polygonen en hoger-dimensionale
analogen hiervan in convexe reguliere polytopen van elke dimensie.
Samenvatting en conclusie
54

Reflectie
We hadden voor het onderwerp reguliere polytopen gekozen omdat we hogere dimensie ons allebei
fascinerend leken, en we daar hebben we ook zeker geen spijt van. Toen we een aantal maanden
met ons profielwerkstuk bezig waren, zijn we ons iets meer gaan focussen op de formule van Euler
en zijn bezig geweest deze te generaliseren. Dit deden we vooral op advies van prof. dr. E.J.N.
Looijenga, en om ons profielwerkstuk iets meer richting te geven.
Het lastige van ons onderwerp was dat de meeste goede bronnen die we moesten gebruiken een
grote hoeveelheid basiskennis veronderstellen op het gebied van meetkunde, topologie, inductie,
grafentheorie en combinoratiek, die wij geen van beiden hebben. Daarom moesten we alle literatuur
die we voor ons onderzoek nodig hadden grotendeels lezen met het internet ernaast om alle
onbekende termen op te kunnen zoeken.
Ook is het lastig om voor een profielwerkstuk voor wiskunde, met name voor een onderwerp als dit,
een fatsoenlijke onderzoeksvraag te formuleren, omdat alles wat wij nagenoeg alleen theoretisch
onderzoek hebben gedaan. Uiteindelijk hebben besloten om vooral naar de gegeneraliseerde
formule van Euler toe te werken, en dat heeft redelijk goed uitgepakt.
Over de samenwerking zijn we redelijk tevreden. We hebben ons eigenlijk allebei op min of meer
gescheiden delen van het profielwerkstuk gericht, dus hoefden we ook geen onenigheid te hebben
over hoe we die onderwerpen behandelden.
Achteraf had ik niet veel dingen anders gedaan, met uitzondering van het ontwikkelen van het
programma om doorsnedes te kunnen zien van de hyperkubus. Dit programma is ontwikkeld zonder
enige voorkennis over de hyperkubus of hogere dimensies, en is dus eigenlijk puur ontwikkeld op
ruimtelijk inzicht. Uiteindelijk functioneert het programma wel naar behoren, maar er had veel tijd
bespaart kunnen worden als het programma ontwikkeld was nadat we ons al een aantal maanden in
het onderwerp hadden verdiept. Ook hadden we achteraf misschien op sommige onderwerpen iets
minder diep in hoeven gaan. Het profielwerkstuk vormt naar ons idee een mooi geheel, maar in
sommige hoofdstukken is er iets teveel informatie toegevoegd die niet heel relevant is met het
hoofdonderwerp van ons onderzoek.
Reflectie
55

Bronvermelding
Gebruikte boeken
Beauregard, F., Linear algebra. New York: Addison-Wesley publishing company, 1995
Coxeter, H.S.M., Regular Polytopes. New York: Dover publications inc, 1963.
Coxeter, H.S.M., Introduction to geometry. New York: John Wiley & sons inc, 1969.
Kendall, M.G., A course in the geometry of n dimensions. New York: Courier Dover Publications, 2004.
Manning, H.P., Geometry of four dimensions. New York: The Macmillan company, 1914.
Gebruikte internetbronnen
http://www.dimensions-math.org/Dim_E.htm,
geraadpleegd op 26 september 2010
http://mathworld.wolfram.com/ModularArithmetic.html,
geraadpleegd op 28 september 2010
http://www.geom.uiuc.edu/docs/forum/polytope/,
geraadpleegd op 22 oktober 2010
http://faculty.cs.tamu.edu/jchai/cpsc641_spring10/PerspectiveProjection.pdf,
geraadpleegd op 10 november 2010
http://mathworld.wolfram.com/Projection.html,
geraadpleegd op 10 november 2010
http://mathworld.wolfram.com/DualGraph.html,
geraadpleegd op 29 december 2010
http://diestel-graph-theory.com/basic.html,
geraadpleegd 30 december 2010
http://mathworld.wolfram.com/SchlafliSymbol.html,
geraadpleegd op 3 januari 2010
http://mathworld.wolfram.com/Tessellation.html,
geraadpleegd op 5 januari 2011
http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html,
geraadpleegd op 5 januari 2011
http://mathworld.wolfram.com/SchlegelGraph.html,
geraadpleegd op 6 januari 2010
http://mathworld.wolfram.com/Honeycomb.html,
geraadpleegd op 6 januari 2011
http://mathworld.wolfram.com/VertexFigure.html,
geraadpleegd op 10 januari 2011
Bronvermelding
56

http://mathworld.wolfram.com/Matrix.html,
geraadpleegd op 18 januari 2011
http://mathworld.wolfram.com/MatrixMultiplication.html,
geraadpleegd op 18 januari 2011
http://mathworld.wolfram.com/RotationMatrix.html,
geraadpleegd op 19 januari 2011
Bronvermelding
57

Logboek
Logboek Nathan
Datum Tijdsduur Bezigheid
22-09-2010 1,5 uur zoeken degelijk internetbronnen
23-09-2010 1,5 uur zoeken degelijk internetbronnen
24-09-2010 2 uur kiezen onderwerp en onderzoeksvragen samenstellen
26-09-2010 0,75 uur kijken documentaire http://www.dimensions-math.org/Dim_E.htm
27-09-2010 0,75 uur kijken documentaire http://www.dimensions-math.org/Dim_E.htm
30-09-2010
t/m
25-09-2010
15-10-2010
t/m
15-12-2010
0,75 uur/dag
0,5 uur/dag
Schrijven programma doorsnede hyperkubus
lezen Coxeter, Regular Polytopes, blz 1-74, 118-129, 165-172
03-12-2010 1 uur gesprek met prof. dr. E.J.N. Looijenga
08-12-2010 1 uur Inhoudsopgave maken
02-01-2010 2 uur uitzoeken welke bronnen te gebruiken voor hoofdstuk 3-5
03-01-2010 2,5 uur uitzoeken welke bronnen te gebruiken voor hoofdstuk 6-8
04-01-2010 2,5 uur schrijven H3 § 1, 2
05-01-2010 1,5 uur schrijven H3 § 3
07-01-2010 2 uur schrijven H4
08-01-2010 1,5 uur schrijven H5 § 1, 2, 3, 4
09-01-2010 2 uur schrijven H5 § 5, 6, 7
10-01-2010 1,5 uur schrijven H6
12-01-2010 1 uur schrijven inleiding en onderzoeksvragen
15-01-2010 2 uur schrijven H7 §1, 2, 3
16-01-2010 1,5 uur schrijven H7 §4, 5
17-01-2010 2 uur schrijven H7 §6, 7, 8
18-01-2010 2 uur schrijven H8 §1, 2
19-01-2010 1,5 uur schrijven H8 §3, 4
20-01-2010 3 uur schrijven H8 §5, 6, 7, 8
21-01-2010 2 uur schrijven conclusie, reflectie, bronvermelding,
22-01-2010 3,5 uur opmaak van het hele PWS oppoetsen
23-01-2010 2 uur afronding en inleveren
Totaal 90 uur
Logboek
58

Logboek Patrick
Datum Tijdsduur Bezigheid
22-09-2010 1 uur zoeken degelijk internetbronnen
23-09-2010 1 uur zoeken degelijk internetbronnen
24-09-2010 2 uur kiezen onderwerp en onderzoeksvragen samenstellen
25-09-2010 1,5 uur concept inhoudsopgave maken
03-12-2010 1 uur gesprek met prof. dr. E.J.N. Looijenga
06-12-2010 2 uur lezen Coxeter, Regular Polytopes, blz 1-10
07-12-2010 3,5 uur lezen Coxeter, Regular Polytopes, blz 11-15
08-12-2010 3 uur lezen Coxeter, Regular Polytopes, blz 16-20
09-12-2010 3 uur lezen Coxeter, Regular Polytopes, blz 21-27
10-12-2010 0,5 uur lezen Coxeter, Regular Polytopes, blz 28
19-12-2010 2 uur lezen Coxeter, Regular Polytopes, blz 29,30
20-12-2010 3,5 uur lezen Coxeter, Regular Polytopes, blz 31-35
21-12-2010 3 uur lezen Coxeter, Regular Polytopes, blz 36-37
22-12-2010 2 uur lezen Coxeter, Regular Polytopes, blz 38-40
27-12-2010 2,5 uur lezen Coxeter, Regular Polytopes, blz 41-47
28-12-2010 3,5 uur lezen Coxeter, Regular Polytopes, blz 48-62
29-12-2010 1,5 uur lezen Coxeter, Regular Polytopes, blz 63-66
30-12-2010 2 uur lezen Coxeter, Regular Polytopes, blz 67,68
31-12-2010 0,5 uur lezen Coxeter, Regular Polytopes, blz 69
01-01-2011 2 uur lezen Coxeter, Regular Polytopes, blz 70
02-01-2011 3,5 uur lezen Coxeter, Regular Polytopes, blz. 71-75
06-01-2011 1 uur voorbereidingen voor het schrijven van H1 en H2
07-01-2011 1 uur voorbereidingen voor het schrijven van H1 en H2
08-01-2011 5,5 uur schrijven H1 § 1, 2, 3, 4
09-01-2011 8 uur schrijven H1 § 5, 6,7
10-01-2011 2 uur tot dan toe geschreven tekst verbeteren
17-01-2011 1 uur schrijven H2 §1
18-01-2011 5 uur schrijven H2 §2
19-01-2011 3 uur schrijven H3 §3
20-01-2011 5 uur plaatjes maken voor H1
21-01-2011 5,5 uur plaatjes maken voor H2
Totaal 70,5 uur
Logboek
59

Bijlage
Bijlage
Een CD met het in hoofdstuk 5 beschreven programma (in swf formaat). Om het programma af te
kunnen spelen heeft u de nieuwste flash-player nodig, die op de onderstaande site gratis te
downloaden is.
http://get.adobe.com/nl/flashplayer/
Besturing van het programma
De hyperkubus bewegen: m ingedrukt houden + 1, 2, 3 of 4 ingedrukt houden (om de
hyperkubus in de x1, x2, x3, x4 richting te bewegen) + pijltje omhoog of pijltje omlaag. Zo
beweegt de hyperkubus over de x4-as in de positieve richting als u m + 4 + pijltje omhoog
indrukt. De hyperkubus roteren: r ingedrukt houden + twee van de toetsen 1, 2, 3 en 4 ingedrukt
houden om de hyperkubus in 4 dimensies om een vlak te draaien. Zo draait de hyperkubus om het
x1x2-vlak als u r + 1 + 2 ingedrukt houdt.
Bijlage
60