De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

§6.2 Rotatiematrices 21
Een rotatiematrix is een matrix die gebruikt wordt om (een verzameling van) punten te
draaien. In twee dimensies heeft elke rotatiematrix de volgende vorm
( )
( )
[
( )
( )
( ) ]
Deze matrix draait een gegeven punt om de oorsprong, door deze te vermenigvuldigen met
de positiematrix van het punt, op de volgende manier
[ ]
( )
[
( )
( )
] * +
( )
( )
[
( )
( )
] ,
( )
dus na een rotatie over een hoek α, krijgt het punt de volgende coördinaten
( ) ( )
( ) ( )
In drie dimensies kan er om drie assen gedraaid worden, wat respectievelijk de volgende matrices
oplevert
( ) [
( ) [
( ) [
( ) ( ) ]
( ) ( )
( ) ( )
]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ]
Bij verdere bestudering van deze matrices vallen twee dingen op
(1) Bij vermenigvuldiging van de positiematrix met elk van de drie matrices, verandert het
coördinaat van de as waarom gedraaid wordt niet.
(2) De rotatiematrix is een eenheidsmatrix, met uitzondering van een (vierkante) deelmatrix
die gelijk is aan de rotatiematrix voor 2 dimensies.
Er veranderen dus, net als bij tweedimensionale rotatie, twee coördinaten van het gedraaide
punt. Rotatiematrices zijn gedefinieerd voor elke dimensie, maar wij zullen ons alleen
bezighouden met rotatiematrices in 4 dimensies. Net als bij rotatiematrices in lagere
dimensies veranderen er per rotatie maar twee coördinaten, er wordt dus in 4 dimensies om
een vlak gedraaid. Rotatiematrices in 4 dimensies zijn, net als die in 3 dimensies,
eenheidsmatrices met uitzondering van een vierkante deelmatrices die gelijk is aan de
rotatiematrix voor 2 dimensies. Als voorbeeld is hieronder de rotatiematrix voor rotatie om
het x1x2-vlak weergegeven.
( ) [
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
]
21 http://mathworld.wolfram.com/RotationMatrix.html, geraadpleegd op 19 januari 2011
Hoofdstuk 7: Polytopen in 4 en hogere dimensie s
35