De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

§1.4 De formule van Euler en reguliere polyhedra 7
Wanneer we het polyhedra bestuderen, kunnen we een aantal verbanden leggen tussen N0, N1 en N2.
We zien namelijk dat in elke vertex q ribben bij elkaar komen, maar elke ribbe verbindt twee vertices
en wordt dus wanneer we het aantal ribben tellen met behulp van q twee keer meegeteld. Dus de
helft van het aantal vertices maal q is het aantal ribben
, dus
Ieder grensvlak heeft p ribben, maar elke rib is gemeenschappelijk aan twee polygonen. De helft van
het aantal zijvlakken maal p is dus het aantal ribben
, dus
Door de twee bovenstaande formules samen te voegen, krijgen we
Stel . Dan geldt er , waaruit volgt
De formule van Euler N N N 2 geeft ook al een verband aan. Door de hierboven gemaakte
conclusies in te vullen krijgen we
We kunnen nu N0, N1 en N2 in p en q uitdrukken
( )( )
Hieruit volgt samen met
7 De formules die in deze en de volgende paragraaf bewezen worden zijn afkomstig van Coxeter,
Regular Polytopes, blz. 13, 23
0
( )( )
1
2
( )( )
(
( )( ) )
( )( )
Uit deze formules is af te leiden dat de kubus en de octahedron een gelijke hoeveelheid ribben
hebben, maar een omgekeerde hoeveelheid vertices en grensvlakken. Een dergelijke relatie tussen
polyhedra noemen we dualiteit. De tetrahedron is duaal aan zichzelf. Voor de icosahedron en de
dodecahedron geldt ook een duale relatie. Duale polyhedra passen precies in elkaar, zoals in de
onderstaande afbeeldingen is weergegeven voor respectievelijk de dodecahedron en de kubus.
Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra
11