De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

8. Gegeneraliseerde formule van Euler
§8.1 Formule van Euler in elke dimensie
In de vorige paragraaf hebben we een verband gelegd tussen het aantal vertices, ribben, polygonen
en polyhedra van een vierdimensionale polytoop. Daarvoor is de formule van Euler al aangetoond
voor polyhedra. Wij zullen nu een algemeen verband afleiden tussen de elementen van polytopen,
dat in elke positieve gehele dimensie geldt. We weten de formules voor lijnstukken , polygonen
, polyhedra en polychora . Voor deze polytopen geldt respectievelijk:
(1) N0 = 2,
want een lijnstuk heeft 2 eindpunten.
(2) N0 – N1 = 0,
want een polygoon heeft net zoveel vertices als ribben.
(3) N0 – N1 + N2 = 2,
want voor een polyhedron geldt de formule van Euler.
(4) N0 – N1 + N2 – N3 = 0,
zoals in het vorige hoofdstuk aannemelijk is gemaakt, geldt deze formule voor alle polychora.
Deze formules zijn te generaliseren tot:
(1) N0 – N1 + N2 – ... ∓ Nn-1 ± Nn = 1
(2) N-1 – N0 + N1 – ... ± Nn-1 ∓ Nn = 0
(3) N0 – N1 + N2 – ... + (-1) n-1 Nn-1 = 1 – (-1) n
Al deze formules houden exact hetzelfde in, en elk van deze formules is dus bewezen als één van de
formules bewezen is. We zullen ons de rest van dit hoofdstuk bezighouden met het bewijzen van
formule (2) voor families reguliere polytopen en (1) voor de algemene situatie.
§8.2 De gegeneraliseerde formule van Euler in families reguliere polytopen
Om een algemene formule af te leiden voor het aantal alle k-dimensionale deelpolytopen in een
simplexen, kruispolytopen en hyperkubussen, is er enige kennis vereist van het binomium van
Newton. Het binomium van Newton is een simpele formule, waarmee de macht van de som van
twee getallen kan worden uitgedrukt in een som van termen waarin de machten van de grootheden
afzonderlijk voorkomen. 25
De macht van elke 2 getallen kan worden uitgedrukt in een dergelijke som op de onderstaande
manier
( )
( )
In het algemeen geldt dat
( ) (
) (
) (
25 http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html, geraadpleegd op 5 januari 2011
26 Coxeter, Regular Polytopes, blz. 128
) (
) ∑ (
§8.2.1 De simplex
We hebben voor het aantal αk’s in αn de volgende formule gevonden
dus (
(
),
), (
), (
), (
), ..., (
)
). Wat opvalt is dat deze
getallen overeenkomen met de coëfficiënten van in de macht ( ) . 26 Er geldt namelijk
dat
Hoofdstuk 8: De gegeneraliseerde formule van Euler
43