De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

Het vertexfiguur van een vertex P van een honingraat, is de polyhedron waarvan de grensvlakken de
vertexfiguren zijn van P met alle omliggende polyhedra. In een vertex waarin r {p,q}’s samenkomen,
is het vertexfiguur een polyhedron {q,r}. Het soort grensvlak van het vertexfiguur is dus afhankelijk
van hoeveel {p}’s er aan elke vertex grenzen in elk van de polyhedra van de honingraat. Het aantal
grensvlakken dat samenkomt in één vertex van het vertexfiguur is dus afhankelijk van het aantal
polyhedra dat om één ribbe liggen. Het vertexfiguur van de regelmatige honingraat {4,3,4} is een
{3,4}, oftewel een octahedron.
§2.2.1 Quasi-reguliere honingraten
Een honingraat is quasi-regulier wanneer de cellen van de honingraat regulier zijn, maar de
vertexfiguren quasi-regulier. Er is ook maar één quasi-reguliere honingraat, namelijk de honingraat
die bestaat uit tetrahedra en octahedra. Deze wordt genoteerd als {
}, omdat hij bestaat uit {3,3}’s
en {3,4}’s. De hoek tussen aangrenzende vlakken is gelijk aan 70,529ᵒ in tetrahedra en aan 109,471ᵒ
in octahedra. Het valt gelijk op de som van deze hoeken gelijk is aan 180ᵒ, waaruit we de conclusie
kunnen trekken dat deze figuren inderdaad samen een honingraat kunnen vormen waarin elke rib 2
octahedra en 2 tetrahedra raakt.
Het vertexfiguur van een vertex P van een {
} bestaat uit gelijkzijdige driehoeken (het vertexfiguur
in een tetrahedron) en vierkanten (het vertexfiguur van een octahedron). We weten dat er om elke
rib 2 octahedra en 2 tetrahedra liggen, dus is het vertexfiguur van {
} een polyhedron waarin in
elke vertex 2 vierkanten en 2 gelijkzijdige driehoeken samenkomen, met andere woorden een
cuboctahedron.
§2.2.2 Semi-reguliere honingraten
Wanneer we van een reguliere honingraat {4,3,4} alle vertexfiguren nemen, krijgen we een rooster
van octahedra waarvan elke vertex gemeenschappelijk is aan 2 octahedra. Naast octahedra worden
er ook cuboctahedron ingesloten, er is dus een honingraat mogelijk van deze 2 polyhedra. Deze
honingraat is in het onderstaande plaatje weergegeven. Dit is een semi-reguliere honingraat omdat
de polyhedra zowel regulier als quasi-regulier zijn en de vertexfiguren geen van beide. Deze
honingraat wordt genoteerd met het Schläfli-symbool ,
-.
Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten
17