De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

2. Tegelingen en honingraten
§2.1 Tegelingen 11
Een tegeling is een oneindig vlak gevuld met polygonen die precies aansluiten en niet overlappen.
Een bekende voorbeelden van tegelingen zijn tegelvloeren. Reguliere tegelingen zijn gemaakt van
één soort regulier polygoon. Ze worden hetzelfde genoteerd als het reguliere polyhedron, dus met
het Schläfli-symbool {p,q}, maar bij tegelingen is de som van de hoeken van alle polygonen in één
vertex gelijk aan 2π. Met andere worden, δ = 0. We kunnen nu het volgende afleiden
(
(
)
)
De enige mogelijke oplossingen zijn ( ) ( ) ( ). Er zijn
dus maar 3 reguliere tegelingen namelijk {3,6}, {4,4} en {6,3}, welke hieronder in de genoemde
volgorde zijn weergegeven.
Met de formule van Descartes kunnen we zien dat een tegeling een oneindige hoeveelheid punten
bevat, wat te verwachten is aangezien een tegeling een oneindig vlak is. We zien dat
(
)
We kunnen een tegeling niet alleen op een plat vlak definiëren, maar ook op het oppervlakte van een
sfeer. Het oppervlakte van deze sfeer is niet begrensd, maar is wel eindig (dus met een niet-oneindig
oppervlakte). Voorbeelden van sferische tegelingen zijn de strandbal en de voetbal. Reguliere
sferische tegelingen worden op een zelfde manier genoteerd als polyhedra, dus met het
Schläfli-symbool {p,q}. Hier staat p uiteraard voor het soort polygoon en is q het aantal polygonen dat
samenkomt in één vertex. Het is natuurlijk zo dat de hoeken van alle polygonen in één vertex gelijk
zijn aan 2π. Polygonen die zich op het oppervlakte van een sfeer bevinden, hebben ribben die een
onderdeel zijn van cirkels binnen de betreffende sfeer door het middelpunt van die sfeer.
11 Deze paragraaf is grotendeels gebaseerd op http://mathworld.wolfram.com/Tessellation.html,
geraadpleegd op 5 januari 2011, en Coxeter, Regular Polytopes, blz. 58,59
Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten
15