De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

§7.3 De vertexfiguren van een hyperkubus
Allereerst gebruiken we een hyperkubus met de punten (1±1, 1±1, 1±1, 1±1). Als we kunnen
bewijzen dat voor deze hyperkubus geldt dat alle vertexfiguren tetrahedra zijn is dit uiteraard gelijk
bewezen voor alle hyperkubussen, aangezien alle hyperkubussen congruent zijn.
Een tetrahedron in 3 dimensies kan heel simpel geconstrueerd worden door 4
vertices van een kubus te kiezen. In de afbeeldingen links is te zien dat alle
ribben van zo’n tetrahedron diagonalen zijn van een grensvlak van de kubus. In
termen van dimensies kunnen we zeggen dat, aangenomen dat dit een kubus is
waarvan de ribben evenwijdig zijn met de assen van het coördinatenstelsel, van
de 3 coördinaten van elke combinatie van twee van de punten van de tetrahedron er 2 verschillen.
De verschillen hebben natuurlijk allemaal dezelfde grootte, aangezien alle ribben van een kubus even
lang zijn. Bij een kubus met ribbe r levert een constructie op deze manier een tetrahedron op met
ribben van lengte √ .
We kunnen dus zeggen dat als voor 4 gegeven punten dat elk tweetal punten in 2 coördinaten
verschilt, en al deze verschillen gelijk zijn, we te maken hebben met een tetrahedron. Het volgt uit
deze voorwaarde dat de tetrahedron gelijke ribben heeft, namelijk √ bij een verschil van r
tussen coördinaten. Als er niet aan deze eis voldaan wordt is het niet onmogelijk dat we toch te
maken heb met een tetrahedron, maar als er wel aan voldaan is weten we zeker dat we wel met een
tetrahedron te maken hebben. In feite is het voor elke tetrahedron mogelijk om het
coördinatenstelsel zo te definiëren dat er wel aan deze eis voldaan wordt.
In een hyperkubus komen in elke vertex 4 ribben samen. Het vertexfiguur bevat alle punten die
halverwege al deze ribben liggen. Aangezien we een hyperkubus gebruiken met de punten
(1±1, 1±1, 1±1, 1±1), weten dat alle punten van het vertexfiguur op een afstand van 1 van de
betreffende vertex liggen. We kunnen nu makkelijk beredeneren dat elk punt van het vertexfiguur in
twee coördinaten verschilt, met een verschil van 1. Zo verschillen, van het punt halverwege het rib in
de x1-richting en het punt halverwege het rib in de x2-richting, het x1-coördinaat en het x2 coördinaat
met een verschil van 1. We weten dus ook dat het lijnstuk x1x2 een lengte heeft van √ . We weten
dat de 4 punten een 3-dimensionaal figuur en geen 4-dimensionaal figuur definiëren, omdat een
hypervlak gedefinieerd wordt met vier punten en de 4 punten dus per definitie in één hypervlak
liggen. Hierbij hebben we bewezen dat alle vertexfiguren van een hyperkubus tetrahedra zijn.
Hieronder wordt een hyperkubus weergegeven met het vertexfiguur van één punt.
Hoofdstuk 7: Polytopen in 4 en hogere dimensie s
37