De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

(1) Alle ribben van de polychoron zijn gelijk.
(2) Elk van de hoeken tussen aangrenzende grenshypervlakken is gelijk.
(3) Alle reguliere vertexfiguren zijn gelijk.
§7.5 Het aantal reguliere polychora
Om te bepalen welke convexe reguliere polychora er voorkomen in 4 dimensies kunnen we
bestuderen op welke manieren reguliere polyhedra om een ribbe te plaatsen zijn, net zoals het
mogelijk is om te bepalen welke convexe reguliere polychora er voorkomen in 3 dimensies door te
bestuderen op welke manieren reguliere polygonen om een punt te plaatsen zijn. We zijn natuurlijk
op zoek naar een manier waarbij het totaal van alle hoeken in de polyhedra (tussen aangrenzende
vlakken) minder is dan 360 , omdat de polyhedra als het ware in elkaar gevouwen moeten kunnen
worden. Dit is te vergelijken met het tweedimensionale geval, waarbij de som van alle hoeken in de
aangrenzende polygonen aan een punt kleiner moet zijn dan 360 , omdat de polygonen anders niet
in drie dimensies in elkaar gevouwen kunnen worden. Er zijn, net als in twee dimensies, ten minste 3
polyhedra per vertex nodig, omdat er anders nooit een gesloten figuur gevormd kan worden.
Bij kubussen is er tussen twee aangrenzende vlakken een hoek van 90 , dus is het in 4 dimensies
mogelijk om 3 kubussen rond elke ribbe te plaatsen. Een kubus heeft het Schläfli-symbool {4,3}, dus
levert deze methode een polychoron op met het Schläfli-symbool {4,3,3}, wat de hyperkubus (of de
tesseract) is.
Bij tetrahedra is er tussen twee aangrenzende vlakken een hoek van bijna 71 , dus is het in 4
dimensies mogelijk om 3, 4 of 5 tetrahedra rond elke ribbe te plaatsen. Een tetrahedron heeft het
Schläfli-symbool {3,3}, dus levert deze methodes polychora op met het respectievelijk de Schläflisymbolen
{3,3,3}, {3,3,4} en {3,3,5}. Deze polychora worden, in de genoemde volgorde, de
pentachoron (of de 4-simplex), de hexadecachoron (of de 4-kruispolytoop) en de 600-cel.
Zowel de octahedron als de dodecahedron hebben een hoek tussen aangrenzende vlakken van
tussen de 90 en de 120 , dus is het voor beide in 4 dimensies mogelijk om er 3 rond elke ribbe te
plaatsen. Dit levert de 24-cel, met Schläfli-symbool {3,4,3}, en de 120-cel, met Schläfli-symbool
{5,3,3} op.
Aangezien de icosahedron een hoek tussen aangrenzende vlakken heeft van meer dan 120 , is het
niet mogelijk om een polychoron te construeren met behulp van deze polyhedron. In totaal zijn er
dus 6 convexe reguliere polytopen in 4 dimensies. 24
§7.6 Polytopen in dimensie n
Uit de eigenschappen van convexe polygonen, polyhedra en polychora kunnen we algemene
eigenschappen afleiden die gelden voor polytopen in elke gehele dimensie n. Een polytoop van
dimensie n wordt genoteerd als .
(1) De inwendige n-ruimte van de polytoop wordt begrenst door (een gesloten verzameling
van) (n-1)-polytopen of (n-1)-deelruimten. Deze (n-1)-polytopen worden ook wel de cellen van
de polytoop genoemd.
(2) Elke (n-2)-deelpolytoop is gemeenschappelijk aan twee (n-1)-deelpolytopen.
(3) Geen van de begrenzende (n-1)-deelruimten snijdt de inwendige n-ruimte.
24 Dit bewijs is gebaseerd op het bewijs gegeven in Coxeter, Introduction to geometry, blz. 400
Hoofdstuk 7: Polytopen in 4 en hogere dimensie s
39