De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

Onderzoeksvragen
Voor dit onderzoek stellen de vraag: Wat voor regelmaat is er te ontdekken in het aantal
deelpolytopen in reguliere polytopen van elke dimensie? We zullen eerst polygonen en polyhedra
behandelen. Dit doen we om begrip te krijgen van de fundamentele eigenschappen van polytopen,
om deze later door te kunnen trekken naar hogere dimensies. Daarna zullen we een simpele definitie
geven van regulariteit, en er wordt uitgelegd waarom deze definitie alle ‘verwachte’ eigenschappen
van regulariteit met zich meebrengt. Vervolgens gaan we de formule van Euler bewijzen, welke een
verband legt tussen het aantal vertices, ribben en grensvlakken van een polyhedron.
Na een begrip te hebben ontwikkeld van polygonen en polyhedra, zullen we ingaan op tegelingen en
honingraten. Tegelingen zijn oneindige vlakken gevuld met precies in elkaar passende polygonen,
honingraten zijn oneindige ruimten gevuld met precies in elkaar passende polyhedra. Honingraten
zijn een goede overbrugging van polyhedra naar polytopen in hogere dimensies, omdat deze
eigenschappen hebben van zowel polyhedra als van 4-dimensionale polytopen. Voor honingraten
zullen we onderzoeken of hiervoor een formule is op te stellen voor het verband tussen het aantal
vertices, ribben, polygonen en polyhedra, net zoals we de formule van Euler hebben gevonden voor
polyhedra.
Daarna zullen we een introductie geven van 4 dimensies en in het bijzonder van Cartesiaanse
coördinatenstelsel, omdat dit noodzakelijk is om te begrijpen wat hogere dimensies inhouden. Ook
zullen we onderzoeken welke manieren er zijn voor 3-dimensionale wezens om 4 dimensies te
begrijpen. We willen weten of er hoger-dimensionale analogen zijn van concepten zoals doorsneden
en projecties.
Als we een redelijk idee hebben gekregen van hogere dimensies, zullen we dieper ingaan op wat
polytopen nou precies zijn in 4 en vervolgens hogere dimensies en zullen we onderzoeken welke
eigenschappen van polygonen en polyhedra zijn door te trekken naar hogere dimensies. Ook zullen
we het begrip regulariteit generaliseren. We onderzoeken ook of er bepaalde reguliere polytopen
zijn die analogen hebben in elke dimensie.
Ten slotte proberen we de formule van Euler te generaliseren, zodat deze geldt voor polytopen in
elke dimensie en zullen we het gevonden verband proberen te bewijzen. Hieronder is overzichtelijk
weergegeven welke hoofdvraag en welke deelvragen we stellen voor dit onderzoek.
Hoofdvraag
Wat voor regelmaat is er te ontdekken in het aantal punten, ribben, polygonen en hogerdimensionale
analogen hiervan in convexe reguliere polytopen van elke dimensie?
Onderzoeksvra gen
3