De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

Inleiding
Het bestuderen van meetkunde in 4 en hogere dimensies is een relatief nieuw gebied in de
wiskunde. Ludwig Schläfli wordt, samen met Bernhard Riemann en Arthur Cayley, vaak gezien als de
grondlegger van hoger-dimensionale meetkunde. De belangrijkste bijdrage van Schläfli was het
beschrijven van alle reguliere polytopen in 4 dimensies. Daarnaast is hij de bedenker van het Schläflisymbool,
waarmee polytopen in elke dimensie vrij simpel genoteerd kunnen worden. Ondanks dat
hogere dimensies pas vanaf het begin van de 19 e eeuw als een serieus gebied van de wiskunde
worden beschouwd, zijn er vele referenties van voor die tijd naar hogere dimensies (waarvan de
meeste van filosofen afkomstig zijn).
De lijn heeft een grootte in één richting, het vlak in twee richtingen, en een lichaam in drie richtingen,
en verder dan deze is er geen richting omdat deze drie alle richtingen zijn. 1
De bewonderenswaardige Ptolemaeus heeft bewezen dat er niet meer dan drie afstanden zijn,
vanwege de noodzakelijkheid dat afstanden gedefinieerd moeten worden, en dat afstanden bepaald
moeten worden met behulp van drie loodrechte lijnen, en omdat het maar mogelijk om drie
onderling loodrechte lijnen te nemen, twee om waarmee het vlak is gedefinieerd en een derde om
diepte te meten; zo dat als er enig andere afstand zou zijn deze volledig zonder betekenis en definitie
zou zijn. 2
In het klassieke Griekenland werd een nummer beschouwd als een lijn, het product van twee
getallen werd beschouwd als een vlak en het product van drie getallen als een lichaam. Toen het
noodzakelijk werd om meer dan 3 getallen te vermenigvuldigen, werden termen als vlak-vlak en
vlak-lichaam geïntroduceerd. Hiernaast verhinderde de meetkundige benadering van vergelijkingen
klassieke wiskundigen ervan zich te wagen aan vergelijkingen met vier of meer variabelen, omdat
deze beschouwd werden als onwerkelijk. Toen deze vergelijkingen niet meer te vermijden waren,
betekende dit een ‘onmogelijke’ uitbreiding van het toenmalige geometrisch begrip.
In de hedendaagse wiskunde heeft hoger- dimensionale meetkunde vele toepassingen, waaronder in
de statistiek, de mathematische fysica en complexe analyse. Aangezien van een complexe functie
zowel de afhankelijke als de onafhankelijk variabele een complex getal is met zowel een reëel als
een imaginair deel, zijn er vier dimensies nodig om een grafiek van deze functie te plotten. Om de
eigenschappen van deze grafiek te bestuderen, kan er gebruik worden gemaakt van vierdimensionale
meetkunde.
Wij zullen in dit onderzoek niet al te diep ingaan op de meetkunde van vier dimensies, maar wij
zullen wel begrip proberen te kweken van wat hoger-dimensionale ruimte precies inhoudt. Waar wij
wel dieper op in zullen gaan zijn reguliere polytopen in vier dimensies, wat de analogen zijn van
polygonen en polyhedra in respectievelijk twee en drie dimensies. Na het onderzoeken van deze
polytopen, inclusief generalisaties hiervan die gelden voor elke dimensie, zullen wij op zoek gaan
naar een patroon in het aantal lager-dimensionale polytopen dat een polytoop in een bepaalde
dimensie n bevat.
1 Citaat van Aristoteles (384 tot 322 v.Chr.), 2 Citaat van Simplicius (6 e eeuw na Christus)
Beide citaten zijn verkorte vertalingen vanuit Manning, Geometry of four dimensions, blz. 1
Inleiding
1