De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

Omdat alle grensvlakken volgens deze definitie regulier zijn, weten we dat alle ribben van de
polyhedron van gelijke lengte zijn. Daarnaast weten we, omdat volgens deze definitie alle
vertexfiguren regulier zijn, dat alle grensvlakken gelijk zijn. Als een vertex P van een polyhedron
namelijk aan verschillende grensvlakken zou grenzen zou het vertexfiguur van die vertex zijden van
verschillende lengte hebben, namelijk 2l cos( /p) voor verschillende waarden van p. Elk van de
hoeken tussen aangrenzende grensvlakken is ook gelijk. Dit is het geval omdat alle
hoeken tussen grensvlakken die in een vertex P voorkomen, corresponderen met
een hoek in de basis van een piramide met het vertexfiguur van P (wat per definitie
een reguliere polygoon is en dus gelijke hoeken heeft) als basis en het punt P als top.
Elk grensvlak van deze piramide is een gelijkzijdige driehoek met zijden l, l en 2l cos( /p). Het aantal
zijden q van de basis, kan niet verschillen zonder de hoek tussen aangrenzende grensvlakken
te veranderen. Hieruit kunnen we concluderen dat q hetzelfde is voor alle vertices, en dus
dat alle vertexfiguren gelijk moeten zijn. Samengevat is een reguliere polyhedron een polytoop {p,q},
waarvan de grensvlakken {q}’s zijn met zijde 2l en de vertexfiguren {p}’s zijn met zijde 2l cos( /p),
en waarvan we weten dat aan de hand van de definitie van regulariteit de volgende eigenschappen
af te leiden zijn:
(1) Alle ribben van de polyhedron zijn gelijk.
(2) Elk van de hoeken tussen aangrenzende grensvlakken is gelijk.
(3) Alle reguliere vertexfiguren zijn gelijk.
§1.7 Quasi-reguliere polyhedra 10
Wanneer we alle vertexfiguren van een regulier polyhedron nemen ontstaat er een nieuw
polyhedron met ribben (
). We stellen nu voor het gemak dat dit nieuw polyhedron ribben
heeft van lengte 2n. Dit polyhedron bestaat uit die vertexfiguren en de kleinere {p}’s die ontstaan
door het verbinden van de vertexfiguren. Met andere woorden, dit polyhedron bestaat uit het
convexe omhulsel van de vertexfiguren. Deze polyhedra worden quasi-reguliere polyhedra genoemd,
omdat ze gedeeltelijk aan de voorwaarden voor regulariteit voldoen. Ze voldoen namelijk aan de
volgende voorwaarden
(1) Elk grensvlak is een reguliere polygoon.
(2) Alle (niet-reguliere) vertexfiguren zijn gelijk.
Hieruit is af te leiden dat alle ribben van quasi-reguliere polyhedra gelijk zijn, met lengte 2l. Ook volgt
uit de definitie dat alle hoeken tussen aangrenzende vlakken gelijk zijn, en dat elk grensvlak omringt
is door grensvlakken van een andere soort.
De quasi-reguliere polyhedra worden genoteerd als ,
-, waarbij p en q staan voor de twee
verschillende reguliere polygonen waarvan de polyhedra gemaakt is. Deze getallen kunnen niet
gebruikt worden voor de formules in het voorgaande hoofdstuk, omdat deze getallen niet voor
hetzelfde staan als in het vorige hoofdstuk. Natuurlijk staat ,
Een ,
- voor hetzelfde figuur als ,
- kan zowel met een {p,q} als met een {q,p} geconstrueerd worden. Op de volgende pagina is
bijvoorbeeld aangegeven hoe een {
} uit zowel een {3,4}, dus octahedron, en een {4,3}, dus een
kubus, geconstrueerd kan worden. Deze quasi-reguliere polyhedron wordt een cuboctahedron
genoemd.
10 De definities in deze paragraaf zijn afkomstig van Coxeter, Regular Polytopes, blz. 17,18
-.
Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten
13