De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

Het is belangrijk om op te merken dat in de deze context de term onbegrensd wijst op het feit dat de
k-keten geen grenzen heeft, de keten is dus niet oneindig.
De definitie van een begrenzing is zoals gezegd de verzameling ’s die bepaalde ’s begrenst. In
termen van incidentiegetallen bestaat de begrenzing van
incidentiegetal
∑
, dus de begrenzing is te noteren als
.
Deze formule is samen met de formule van een k-keten
∑
,
te combineren tot de formule voor de begrenzing van een k-keten
∑ ∑
.
uit alle ’s waarvoor geldt dat het
Voor een onbegrensde k-keten geldt altijd de volgende voorwaarde, als er modulair gerekend wordt
met modulus 2
(1a) ∑ ∑
k-keten. Hieruit volgt de onderstaande gelijkheid.
(1b) ∑
, voor elke i.
, want de begrenszin van een onbegrensde k-keten is een lege
Een onbegrensde k-keten is begrenzend, als deze een (k+1)-keten ∑
geval als er coëfficiënten yl bestaan waarvoor geldt, opnieuw rekenend met modulus 2
(2) xj = ∑
§8.5 K-ketens als vectoren
We kunnen een k-keten ∑
, voor elke j.
begrenst. Dit is het
beschouwen als een ‘vector’, waarvan de componenten
x1, x2, …, xNk gelijk zijn aan 0 of 1 (oftewel, er wordt bij deze vectoren gerekend met modulus 2). Deze
vectoren stellen
’s voor, in de zin dat als een component xj van de vector gelijk is aan 0,
deel uitmaakt van de k-keten en als xj gelijk is aan 1,
geen
wel deel uitmaakt van de k-keten. We
kunnen in plaats van de componenten van de vector te beschouwen als een soort van binaire waarde
die aangeeft of een
beschouwen als de
wel of niet deel uitmaakt van de k-keten, de componenten van de vector ook
’s zelf. De componenten van de vector, of beter gezegd de vectoren die een
component van de vector voorstellen, zijn lineair onafhankelijk. Lineaire onafhankelijk bij ‘normale’
vector houdt in dat geen van de vectoren uitgedrukt kan worden in een lineaire combinatie van de
andere vectoren, dus bijvoorbeeld kan een vector ⃗⃗⃗⃗ niet geschreven worden als ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . In deze context houdt lineaire onafhankelijkheid in dat geen enkele
uitgedrukt kan worden als de ‘som’ van andere
’s. Al deze lineair onafhankelijke ‘vectoren’ vormen
de basis van een vectorruimte V, in de zin dat elke vector binnen de vectorruimte uitgedrukt kan
worden als een lineaire combinatie van deze Nk vectoren. Met andere woorden, alle k-ketens (voor
één bepaalde) kunnen gerepresenteerd worden in een Nk-dimensionale vectorruimte. Nu is ook
duidelijk waarom (1b) volgt uit (1a). De gelijkheid (1a) geeft namelijk aan dat de begrenzing van
een onbegrensde k-keten is. In termen van vectoren, de vector die de begrenzing van de k-keten
representeert in de vectorruimte V is gelijk aan de nulvector. We kunnen (1a) dus herschrijven als
∑ ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ .
Hoofdstuk 8: De gegeneraliseerde formule van Euler
47