De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

§5.5 Algoritme voor het vinden van het aangrenzende vlak
Als er wel 2 snijpunten worden gevonden is de volgende taak het vinden
van het vlak (of beter gezegd van iV), dat de lijn S1S2 gemeenschappelijk
heeft met het eerste vlak. Hierbij zijn S1 en S2 de geselecteerde punten
op het moment dat het 2 e snijpunt van x4 met het eerste vlak werd
gevonden. Er is geen simpele methode of formule om het aangrenzende
vlak te vinden. We zullen om deze te vinden gebruik maken van de
weergegeven tabel. Nu wordt er voor elk van de 3 aangrenzende vlakken
van S1 gecontroleerd of er aan de volgende voorwaarden wordt voldaan:
(1) Het aangrenzende vlak van S1 grens ook aan S2.
(2) Het vlak is ongelijk aan het voorgaande vlak.
indexpunt aangrenzende
vlakken
0 0, 2, 4
1 1, 2, 4
2 0, 3, 4
3 1, 3, 4
4 0, 2, 5
5 1, 2, 5
6 0, 3, 5
7 1, 3, 5
Er is maar één vlak wat aan deze beide voorwaarden voldoet, en dat is het vlak dat de lijn S1S2
gemeenschappelijk heeft met het voorgaande vlak.
§5.6 Algoritme voor het vinden van het volgende snijpunt
In het nu geselecteerde vlak is al één snijpunt bekend, aangezien het 2 e snijpunt van het voorgaande
vlak ook in dit vlak ligt. Het 2 e snijpunt wordt op gelijke wijze gevonden als de vorige snijpunten, er
gebeurt namelijk het volgende
(1) S1 wordt gelijkgesteld aan S2, dus er wordt voor S1 het punt geselecteerd dat
aanvankelijk voor S2 geselecteerd was.
(2) S2 wordt geselecteerd met behulp van de formule voor , waarbij N twee waarden
kan aannemen, namelijk de waarden die overeenkomen met de variabele coördinaten
binnen het nu geselecteerde vlak. Ook is N ongelijk aan de vorige N.
(3) Als er aan de voorwaarde (( ) ( )) (( ) ( )) wordt
voldaan wordt er een punt geïnterpoleerd, met behulp van de formule voor interpolatie.
Als er voordat deze stappen vier keer zijn uitgevoerd een snijpunt wordt gevonden wordt er een
volgend vlak geselecteerd, volgens het algoritme dat hiervoor beschreven is. Als het vlak wat uit dat
algoritme komt gelijk is aan het eerste vlak, dus iV = iV,start, dan is er een gesloten lijn gecreëerd. Dit is
de lijn die het snijvlak van de betreffende kubus met het hypervlak x4 = 0 voorstelt. Verrassend
genoeg is het enige wat er na het definiëren van alle bovenstaande algoritmes nog moet gebeuren,
het uitvoeren van dit algoritme voor alle 8
kubussen, waarna de volledige doorsnede
van de hyperkubus met x4 = 0 wordt
weergegeven. Aangezien het snijvlak van
elke aparte kubus een polygoon is, is deze
doorsnede een polyhedron. Het algoritme
van één kubus, waarvan het snijvlak met x4
= 0 een zeshoek is, wordt duidelijker
weergegeven in de afbeelding rechts. Hierin
is weer de volgorde van de selectie van
punten weergegeven en de volgorde van de
selectie van vlakken in dikgedrukte letters.
Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus
31