De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

wordt door 5 andere vijfhoeken en elke vijfhoek behalve de middelste 3 vijfhoeken raakt. We krijgen
een soort van kom, waarvan we er twee op elkaar kunnen passen om een dodecahedron te vormen.
§1.3 De formule van Euler in 3 dimensies 5
De formule van Euler legt een verband tussen het aantal vertices, ribben en grensvlakken van een
polyhedron. Om de formule van Euler in 3 dimensies te kunnen begrijpen, is enige kennis van
grafentheorie vereist. Grafentheorie is de tak van wiskunde die de eigenschappen van grafen
bestudeert. Een graaf in het algemeen is een verzameling knopen (punten) verbonden door takken
(lijnen). Grafentheorie wordt soms beschouwd als een onderdeel van topologie, een uitgroeisel van
de meetkunde waar geen aandacht wordt besteed aan afstand en rechtlijnigheid, maar dat zich
bezighoudt met de manier waarop figuren met elkaar verbonden zijn.
Wij zullen ons alleen maar bezighouden met enkelvoudige, niet-gerichte grafen. Dit zijn grafen
waarbij ten eerste elke 2 knopen verbonden zijn door ten meeste één tak, en ten tweede de takken
geen richting hebben. De formele definitie van een enkelvoudige, niet-gerichte graaf G is G = (V,E),
een geordend paar van een niet-lege, eindige verzameling V en een verzameling E bestaande nietgeordende
tweetallen van elementen uit V, dus E ⊆ [V] 2 . De verzameling V bestaat dus uit de
knopen, en de verzameling E uit de takken van de graaf. In het onderstaande plaatje wordt als
voorbeeld de graaf G = (E,V) weergegeven, waarbij E = {1,2,3} en V = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}. 4
Elke graaf G heeft een duale graaf G*. 5 Een duale graaf is te construeren door in elk ingesloten vlak
(waarbij het oneindige vlak dat de graaf omgeeft ook als ingesloten vlak wordt beschouwd) een
knoop te plaatsen en vervolgens van deze knopen elk paar te verbinden waarvan de bijbehorende
vlakken een tak gemeenschappelijk hebben. Elke tak van de duale graaf snijdt dan de bijbehorende
tak van de originele graaf. Een graaf met N0 knopen, N1 takken en N2 vlakken levert dus een duale
graaf op met N2 knopen, N1 takken en N0 ingesloten vlakken. Hierbij wordt elk van de N2 knopen
van de duale graaf omgeven door een vlak van de originele graaf. Dualiteit is een symmetrische
relatie, wat inhoudt dat elke graaf de duale graaf van zijn duale graaf is oftewel G = G**.
Ten slotte is een boom een graaf die aan de volgende eigenschappen voldoet:
(1) De graaf bevat geen kringen, wat ketens zijn van opeenvolgende takken waarbij het beginpunt
van de eerste tak samenvalt met het eindpunt van de laatste tak.
5 De formule van Euler is op vele manieren te bewijzen, maar wij hebben gekozen voor het bewijs
van von Staudt, zoals deze beschreven is in Coxeter, Regular Polytopes, blz. 9.
4 http://diestel-graph-theory.com/basic.html, geraadpleegd op 30 december 2010
5 http://mathworld.wolfram.com/DualGraph.html, geraadpleegd op 29 december 2010
Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra
9