De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

More documents

Recommendations

Info

§8.3 Het incidentiegetal Euler’s formule behoort toe aan de topologie, die zoals gezegd geen aandacht besteedt aan en rechtlijnigheid, maar zich bezighoudt met de manier waarop figuren met elkaar verbonden zijn. Een polytoop Πn kan gebogen of uitgerekt worden zonder dat daarbij de topologische eigenschappen van de polytoop veranderd worden. De eigenschappen van elke polytoop zijn vanuit een topologisch oogpunt bepaald door de relaties van tussen de vertices , de ribben , de grensvlakken , en alle andere deelpolytopen. Alle (topologische) eigenschappen van een polytoop zijn bekend als we weten welke ’s cellen zijn van welke ’s, voor k = 0, 1, 2, …, n. Dit wordt weergegeven met behulp van incidentiegetallen aannemen, worden de ’s genoteerd worden als , , ..., . Voor alle mogelijke waarden die k kan , waarbij Nk het aantal ’s is voor één bepaalde waarde van k. Het incidentie getal kan maar twee verschillende waarden aannemen: (1) (2) , wat inhoudt dat , wat inhoudt dat geen cel is van wel een cel is van Het incidentiegetal kan tot op bepaalde hoogte dus ook beschouwd worden als een binair getal, ten eerste omdat deze alleen de waarden 0 en 1 kan aannemen, ten tweede omdat deze eigenlijk meer een staat (‘waar of niet waar, cel of geen cel’) weergeeft dan een getal in de rekenkundige zin. Voor elke k, zijn deze getallen duidelijk weer te geven in een incidentiematrix of simpelweg een tabel, met Nk-1 rijen en Nk kolommen. Rij i geeft aan welke ’s begrensd worden door kolom j geeft aan welke ’s A B C D 1 1 1 1 BCD ACD ABD ABC AD 0 1 1 0 BD 1 0 1 0 CD 1 1 0 0 BC 1 0 0 1 AC 0 0 0 1 AB 0 0 1 1 begrenzen. AD BD CD BC AC AB A 1 0 0 0 1 1 B 0 1 0 1 0 1 C 0 0 1 1 1 0 D 1 1 1 0 0 0 ABCD BCD 1 ACD 1 ABD 1 ABC 1 . . , en Hoofdstuk 8: De gegeneraliseerde formule van Euler 45
Dit zijn de incidentiematrices van een tetrahedron ABCD, welke uiteraard de ribben AB, AC, AD, BC, BD en CD, en de grensvlakken ABC, ACD, ABD en BCD bevat. We nemen aan dat alle elementen een gemeenschappelijk element hebben, wat ten gevolge heeft dat voor elke j = 0, 1, 2, ..., N0 geldt , en dus dat de incidentiematrix van k = 0 bestaat uit een rij enen. Aangezien alle ’s cellen zijn van de polytoop , geldt er voor elke i = 1, 2, ..., Nn-1 dat , en dus dat de incidentiematrix van k = n bestaat uit een kolom enen. §8.4 K-ketens Een k-keten is gedefinieerd als de som een selectie van ’s voor een vaststaande k, bijvoorbeeld de som van elementen + + . Zo is een 1-keten een verzameling ribben, en een 2-keten een verzameling polygonen. De som van twee k-ketens bestaat uit de niet-gemeenschappelijke elementen van beide k-ketens. Een k-keten kan genoteerd worden als ∑ , waarbij de coëfficiënt xj (die net als het incidentiegetal alleen de waarden 0 en 1 kan aannemen) geeft aan of worden als ∑ onderdeel uitmaakt van de selectie ’s. De som van twee k-ketens kan genoteerd + ∑ = ∑ ( ) Hierbij wordt met de coëfficiënten xj en yj modulair gerekend, met modulus 2. Voor de rest van dit hoofdstuk zullen wij bij zowel deze coëfficiënten als bij incidentiegetallen gebruik uitsluitend gebruik maken van rekenen met modulus 2. Dit stelt ons ertoe in staat om op een vrij simpele manier een begrenzing (de verzameling ’s die bepaalde ’s begrenst) te definiëren aan de hand van k-ketens. Een begrenzing van een k-keten is nu namelijk te definiëren als de (k-1)-keten van de som van de begrenzingen van alle ’s in de k-keten. Als een k-keten twee ’s bevat met een gemeenschappelijke ’s, is dit uiteraard geen onderdeel van de begrenzing van de k-keten. Als een simpel voorbeeld hiervan kunnen we ons twee verbonden kubussen voorstellen met één gemeenschappelijk grensvlak. De begrenzing van de k-keten (in dit specifieke geval een 3-keten) van de kubussen , bevat natuurlijk alle grensvlakken van beide kubussen, met uitzondering van het gemeenschappelijke vlak. We kunnen beredeneren dat door de definitie van de begrenzing van een k-keten als de som van de begrenzingen van alle ’s in de k-keten, dit vlak zich inderdaad ook niet in deze (k-1)-keten, die de begrenzing van de k-keten van de twee kubussen voorstelt, bevindt. In het algemeen in het zo dat de begrenzing van een polytoop een k-keten is waarvan de begrenzing een ‘lege’ (k-1)-keten is. De begrenzing van is dus een onbegrensde k-keten. Dit is het geval omdat van een polytoop elke (n-1)-deelpolytoop gemeenschappelijk is aan twee n-deelpolytopen . In de begrenzing van de n-keten van de n-deelpolytopen wordt elke (n-1)-deelpolytoop die aan twee (of meer) van n-deelpolytopen grenst opgeheven, dus aangezien alle (n-1)-deelpolytopen aan twee (n-2)-deelpolytopen grenzen, is de begrenzing van de n-keten een lege (n-1)-keten. Zo is de begrenzing van een enkele kubus een onbegrensde 2-keten van de grensvlakken van de kubus. Hoofdstuk 8: De gegeneraliseerde formule van Euler 46
Page 2 and 3: Inhoudsopgave Inleiding 1 Onderzoek
Page 4 and 5: Inleiding Het bestuderen van meetku
Page 6 and 7: Onderzoeksvragen Voor dit onderzoek
Page 8 and 9: 1. Reguliere polygonen en polyhedra
Page 10 and 11: ( ( ) ) Ook hier geldt natuurlijk w
Page 12 and 13: wordt door 5 andere vijfhoeken en e
Page 14 and 15: §1.4 De formule van Euler en regul
Page 16 and 17: Omdat alle grensvlakken volgens dez
Page 18 and 19: 2. Tegelingen en honingraten §2.1
Page 20 and 21: Het vertexfiguur van een vertex P v
Page 22 and 23: ∑ ∑ ∑ (de sommaties zijn hier
Page 24 and 25: (0) Een punt wordt gebruikt om een
Page 26 and 27: hypervlak liggen, alle punten nemen
Page 28 and 29: Deze formules op dezelfde manier af
Page 30 and 31: Hierbij staat %2 voor het feit dat
Page 32 and 33: (2) Er wordt, voor alle indices i
Page 34 and 35: §5.5 Algoritme voor het vinden van
Page 36 and 37: Het is belangrijk te zien dat als h
Page 38 and 39: §6.2 Rotatiematrices 21 Een rotati
Page 40 and 41: §7.3 De vertexfiguren van een hype
Page 42 and 43: (1) Alle ribben van de polychoron z
Page 44 and 45: Zoals af te leiden is uit de manier
Page 46 and 47: 8. Gegeneraliseerde formule van Eul
Page 50 and 51: Het is belangrijk om op te merken d
Page 52 and 53: van E 3 is. Als we nu de rank van d
Page 54 and 55: Samenvatting en conclusie We hebben
Page 56 and 57: (2) Voor de kruispolytoop komen de
Page 58 and 59: Reflectie We hadden voor het onderw
Page 60 and 61: http://mathworld.wolfram.com/Matrix
Page 62 and 63: Logboek Patrick Datum Tijdsduur Bez

De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?