De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

1. Reguliere polygonen en polyhedra
§1.1 Reguliere polygonen 3
Polygonen zijn er in allerlei soorten en maten. Er zijn er zelfs oneindig veel verschillende polygonen
mogelijk, dus zullen wij onze beperken tot de reguliere polygonen. Een polygoon is regulier als er aan
de volgende voorwaarden wordt voldaan:
(1) De ribben van het polygoon zijn allemaal van dezelfde lengte.
(2) Alle inwendige hoeken van het polygoon zijn gelijk.
Reguliere polygonen worden genoteerd met het Schläfli-symbool {p}, waarin p het aantal vertices of
ribben is, met p > 3. We nemen als voorbeeld de {5}, oftewel het pentagoon (de vijfhoek) ABCDE, zie
het onderstaande figuur. Doordat alle hoeken en ribben gelijk zijn weten we dat het middelpunt en
het zwaartepunt van een regulier polygoon hetzelfde zijn. Met de afstanden van het middelpunt tot
de vertices allemaal gelijk en zo ook de afstanden van het middelpunt tot de ribben (ofwel de
middelpunten van de ribben), zijn er twee cirkels de tekenen:
(1) De ingeschreven of binnencirkel c1 met straal r1 die de ribben in hun
middelpunten raakt.
(2) De omgeschreven of buitencirkel c2 met straal r2 die door de vertices
gaat.
Beide cirkels hebben M (middelpunt van het betreffende polygoon) als
middelpunt, men zegt dan dat c1 en c2 concentrisch zijn.
Wanneer we vanuit het middelpunt een lijn naar elk middelpunt van een rib en elke vertex trekken
ontstaan er twee driehoeken per rib. In totaal zijn er dan 2p van deze driehoeken, dus voor het
pentagoon zijn het er 10. In het onderstaande figuur is één zo’n driehoek ( AKM ) weergegeven.
Als we stellen dat het polygoon zijden heeft van lengte 2l dan volgt AK = l. Ook zien we dat KM = r1,
AM = r2 en
, omdat er 2p driehoeken samenkomen in M. Omdat AKM een
rechthoekige driehoek is kun we gebruik maken van goniometrische formules. Zo kunnen we
bijvoorbeeld r1 en r2 uitrekenen.
( )
(
( )
Van driehoek AKM kunnen we ook de volgende dingen uitrekenen
(som hoeken is gelijk aan 180ᵒ)
(
)
(
3 Deze paragraaf is grotendeels gebaseerd op Coxeter, Regular Polytopes, blz. 1-3
)
)
(
(
)
)
Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra
5