De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

Deze formules op dezelfde manier af te leiden als de projectieformule in twee
dimensies. In de aangegeven projectie van een kubus op een projectievlak, is te
zien dat afstanden en hoeken vertekend zijn. In werkelijkheid zijn alle ribben van
de kubus even lang en zijn alle hoeken 90°. Zo lijken de zijvlakken van de kubus in
de projectie op trapezia, terwijl deze in werkelijkheid natuurlijk vierkanten zijn.
§4.3 Projectie in vier en meer dimensies
We hebben gezien dat om een n-dimensionale ruimte te reduceren tot een (n-1)-dimensionale
ruimte, we gebruik kunnen maken van de formules van perspectivische projectie. Bij het afleiden van
de projectie-formules in 2 dimensies zagen we dat er bij perspectivische projectie p: A A’ voor
punt A geldt
Dit kunnen we in n dimensies generaliseren tot het coördinaat xN (N = 1, 2, ..., n)
De onderstaande afbeelding is een projectie van hyperkubus op een 3-dimensionale projectieruimte,
welke vervolgens geprojecteerd is op een 2-dimensionaal projectievlak om te kunnen worden
weergegeven op papier. Net zoals bij een projectie van de kubus zijn afstanden en hoeken vertekend.
Zo lijkt geen van de driedimensionale elementen die de hyperkubus bevat op een kubus, terwijl elk
van deze elementen in werkelijkheid wel een kubus is.
De beste eigenschap van projecties, en de reden dat er veel situaties zijn waarin ze meer bruikbaar
zijn dan doorsnedes, is dat de topologische eigenschappen van de geprojecteerde polytoop intact
blijven. Dit houdt in dat er duidelijk te zien is welke vertices met elkaar verbonden zijn, en waar zich
vlakken en zo mogelijk hoger-dimensionale analogen hiervan zich bevinden.
Hoofdstuk 4: Projectie
25