De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

∑ ∑ ∑ (de sommaties zijn hier ∑
∑ ∑ ∑ (de sommaties zijn hier ∑ ∑ )
∑ ∑ ∑ (∑ ∑ ∑ )
(∑
We weten dat
∑ ) (∑ ∑ ) (∑ ∑ ) .
(1) ∑ ∑ , aangezien ∑ ∑ .
(2) ∑ ∑ , aangezien ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ .
(3) ∑ ∑ ∑ ∑ , wat duidelijker genoteerd kan worden als
∑
∑
Dus kunnen we de bovenstaande formule herleiden tot
( )
∑
∑
Deze formule geldt niet alleen maar voor honingraten, maar ook voor polychora. In het laatste
hoofdstuk zullen we deze formule generaliseren. 13
13 Dit bewijs is een uitgebreide variant van het bewijs geleverd in Coxeter, Regular Polytopes, blz. 72
∑
)
Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten
19