De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

Zoals af te leiden is uit de manier waarop we simplexen construeren bevat elke n-simplex n+1
punten, aangezien deze te construeren is door in E n+1 door op elke as een punt te plaatsen.
De onderdelen van een n-simplex, zijn alle mogelijke k-simplexen die gevormd worden door de n+1
punten van de n-simplex. Zo bevat een n-simplex (
{3}, (
) tetrahedra {3,3}, ... en (
(
)
) lijnstukken, (
) gelijkzijdige driehoeken
) = n+1 cellen. De algemene formule voor het aantal αk’s is
§7.8.2 De kruispolytoop
Er kan in ruimte E n niet alleen maar een (n-1)-simplex worden geconstrueerd met punten op de
positieve assen, maar met elke mogelijke van de 2 n combinaties van positieve en negatieve assen. Al
deze simplexen samen vormen een n-kruispolytoop. Elke n-kruispolytoop bestaat dus uit 2 n
(n-1)-simplexen. De vierkant {4} is een 2-kruispolytoop, en van de Platonische soliden is de
octahedron {3,4} de 3-kruispolytoop. Net als simplexen kunnen kruispolytopen voorkomen in elke
positieve gehele dimensie. We zullen een n-kruispolytoop noteren als βn. Het Schläfli-symbool voor
βn is een reeks 3’en gevolgd door een 4, oftewel {3, 3, …,3, 4}.
Een kruispolytoop βn is ook te beschouwen als een dubbele piramide met βn-1 als basis en met de
toppen in tegengestelde richtingen in de n e dimensie. Aangezien de n-kruispolytoop geconstrueerd
wordt met niets anders dan (n-1)-simplexen, bestaat een βn uit niets anders dan αk’s (k < n). Voor ,
het aantal αk’s in βn, geldt
waarbij het aantal αk’s in βn-1 is. De staat in deze formule omdat elke αk in βn-1 zich ook in
βn bevindt. In βn komt er voor elke
twee keer een nieuwe αk bij, omdat er voor elke αk-1 twee
αk-1’s zijn, met de αk-1 als basis. Zo geldt voor het aantal ribben in de octahedron β3 de formule
aangezien er voor elk van de 4 vertices in β2 een nieuw rib
is. Er is bekend dat geldt N0 = 2n, aangezien een βn 2n punten bevat.
We kunnen nu met inductie de volgende formule bewijzen
(
).
Om deze formule te bewijzen, hoeven we alleen maar te bewijzen dat deze ten eerste geldt voor
k = 0 en ten tweede dat als deze formule geldt voor k-1, deze ook geldt voor k.
(1) Er is bekend dat N0 = 2n, aangezien elke kruispolytoop 2n punten bevat. Dit komt overeen
met de bovenstaande formule, aangezien
(2) We veronderstellen dat
het bewijs voltooien
(
(
((
((
(
)
) (
) (
) (
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
( ) ( )
))
))
( ) (
( ) ) (
)
( )
( ) )
( ) ( )
( ) ( ) )
). Hiermee kunnen we
Hoofdstuk 7: Polytopen in 4 en hogere dimensie s
41