De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

(2) Er wordt, voor alle indices i ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, een punt P(x1,x2,x3,x4) gecreëerd
behorende tot de reële kubus, waarvan de coördinaten berekend worden door simpelweg
het coördinaat van het corresponderende punt van de binaire kubus scalair te
vermenigvuldigen met
.
De enige complicatie is dat er zorgvuldig gekeken moet worden welke coördinaten van
P(x1,x2,x3,x4) variabel zijn. De coördinaten van dit punt moeten dus als volgt berekend
worden:
De letters A, B en C slaan hier uiteraard op de dimensie van het coördinaat. Nu geldt er voor
het overige coördinaat xD dat
( ) (
) .
§5.3 Het lijn-object
Alle algoritmes die vanaf nu beschreven worden, zijn algoritmes die in het programma bij elk nieuw
frame uitgevoerd worden, dus bij benadering 25 keer per seconde. De eerste van deze algoritmes is
het vinden van het eerste snijvlak van een kubus met het hypervlak x4 = 0. Bij het creëren van de
kubus, dus op het moment dat het programma start, wordt er voor elke kubus een abstract object
gecreëerd, waar we naar zullen verwijzen met , of kortweg V. Op het moment van creëren
is dit een lege verzameling ∅. Aan kunnen echter dynamisch elementen, in ons geval punten
worden toegevoegd. Het object is een geordende verzameling, in de zin dat er bekend is in welke
volgorde de punten aan het object zijn toegevoegd.
§5.4 Algoritme voor het vinden van het eerste snijvlak met x4 = 0
Om het eerste snijvlak te vinden met x4 = 0, wordt er het volgende gedaan. Ten eerste wordt het vlak
met index 0 en het punt met index 0 geselecteerd. Naast dit punt wordt ook het punt geselecteerd
dat verkregen wordt wanneer van het eerste variabele coördinaat (binnen het geselecteerde vlak, zie
de tabel op de vorige pagina) wordt veranderd, in dit geval xB. Om de index van een punt (van de
binaire kubus) S2 te berekenen dat slechts verschilt in één coördinaat xN (hierbij geldt dat N = 1
overeen komt met xA, N = 2 overeen komt met xB en N = 3 overeen komt met xC), zullen we gebruik
maken van de volgende formule
( ).
Hierbij zijn de coördinaten van S1 en S2 altijd 0 of 1, aangezien dit punten van de binaire kubus zijn.
Als een punt met index 7, dus Q7(1, 1, 1), bijvoorbeeld verplaatst wordt over xB, is de index van het
tweede punt S2 gelijk aan ( ) , dus Q5(1, 0, 1). Wij zullen de twee
geselecteerde punten noteren als S1, in dit geval het punt Q1(0, 0, 0), en S2, in dit geval Q3(0, 1, 0).
Dit doen we om te verduidelijken dat het hier gaat om tijdelijke selecties, en S1 en S2 dus zelf geen
punten zijn. We zullen de index van het geselecteerde vlak weergeven met iV, nu geldt er dus iV = 0.
Na het bepalen van S2 wordt er nagegaan of er aan de volgende voorwaarde wordt voldaan
(( ) ( )) (( ) ( )),
Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus
29