De formule van Euler in reguliere polytopen - KNAW Onderwijsprijs

Hierbij staat %2 voor het feit dat we rekenen met modulus 2. Modulair rekenen is een vorm van
geheeltallig rekenen, waarbij de modulus m als bovengrens fungeert. 18 Met modulus m wordt er
alleen maar gerekend met de getallen 0, 1, …, m-1. Als uit een berekening een uitkomst volgt die
groter dan of gelijk is aan de modulus, moet er eerst m van de uitkomst afgetrokken worden totdat
het resultaat kleiner is dan m. Er wordt dus als het ware gewerkt met een cirkelvormige getallenlijn.
Bij het rekenen met modulus 2 wordt er alleen gerekend met de getallen 0 en 1. Zo geldt
bijvoorbeeld 1 + 1 = 0. Wij zullen van nu af aan bij zowel deze coëfficiënten als bij incidentiegetallen
gebruik uitsluitend gebruik maken van rekenen met modulus 2. De grootte van het coördinaat voor
respectievelijk de binaire kubussen en de reële kubussen is te berekenen met de formule
voor de binaire kubus
(
) voor de reële kubus
Om het snijvlak van een kubus met het hypervlak x4 = 0 te vinden, zullen we deze op hun beurt
beschouwen als 6 losse vlakken. Voor het indexeren van de grensvlakken van een kubus zullen we op
een vergelijkbare manier te werk gaan als bij het indexeren van de kubussen. We zullen opnieuw
gebruik maken van de binaire hyperkubus. De indexering van de grensvlakken van kubussen is tegen
de eerste verwachting in veel gecompliceerder dan zijn hoger-dimensionale tegenpool, aangezien er
een patroon gezocht moet worden in het onveranderde coördinaat van de grensvlakken van
meerdere kubussen. Het zou een monnikenwerk zijn om voor elk van de 8 kubussen een aparte
indexering te definiëren, dus streven we naar een ‘gegeneraliseerde’ indexering, die geldt voor alle
kubussen. De beste, zo niet de enige manier om dit te bereiken is door in een bepaalde binaire kubus
niet te werken met x1, x2, x3, en x4, maar met xA, xB, xC en xD. Hierbij zijn xA, xB en xC de drie variabele
coördinaten in een kubus, en is xD het invariabele coördinaten. Hierbij hebben A, B en C voor elke
indexkubus vaststaande waarden, welke worden weergegeven in de onderstaande tabel.
indexkubus\coördinaat xA xB xC xD (constant)
0 2 3 4 1
1 2 3 4 1
2 1 3 4 2
3 1 3 4 2
4 1 2 4 3
5 1 2 4 3
6 1 2 3 4
7 1 2 3 4
De grensvlakken worden voor elke kubus gedefinieerd aan de hand van xA, xB en xC, dus niet aan de
hand van x1, x2, x3 en x4. De indices van de grensvlakken, die dus voor elke kubus gelden, worden
weergegeven in de onderstaande tabel.
Indexvlak\coördinaat xA xB xC
0 0 [0,1] [0,1]
1 1 [0,1] [0,1]
2 [0,1] 0 [0,1]
3 [0,1] 1 [0,1]
4 [0,1] [0,1] 0
5 [0,1] [0,1] 1
18 http://mathworld.wolfram.com/ModularArithmetic.html, geraadpleegd op 28 september 2010
Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus
27