computer-wetenschap-bewerkt

Hoofdstuk 73
Two’s complement
Waarden voor een 8-bitsgetal
Two’s complement of 2-complement is een getalsrepresentatie voor gehele getallen (integers) die in computers algemeen
wordt gebruikt.
Het is niet alleen associatief, maar heeft maar één representatie voor '0'. Het 2-complement is gelijk aan het 1-
complement plus 1 als de tekenbit '1' is, dus bij negatieve getallen.
Positieve getallen worden ook hierin voorgesteld door een bitrij beginnend met een 0 en negatieve beginnend met
een 1, maar het tegengestelde bestaat nu uit een bitrij die verkregen wordt als het verschil met de bitrij met allemaal
0-en en een 1 als extra bit ervoor geplaatst. Deze bitrij stelt dan het getal 2 n voor bij een representatie met n bits. De
representatie komt neer op het rekenen modulo 2 n . Het positieve getal 79 bijvoorbeeld wordt (met 8 bits) voorgesteld
door 01001111 en −79 door 10110001. Tellen we beide op, dan krijgen we als som de rij 100000000, die overigens
zelf in de representatie niet voorkomt.
Uit het bovenstaande kan afgeleid worden dat de representatie in 2-complement verkregen wordt door bij de representatie
in 1-complement 1 op te tellen: −79 in 1-complement (8 bits) 10110000; tel er 1 bij op: 10110000 +
00000001 = 10110001, de voorstelling van −79 in 2-complement.
Net als bij 1-complement wordt bij 2-complement de meest significante bit gebruikt om aan te geven of een getal
positief is of negatief. Deze meest significante bit heeft echter een andere betekenis dan bij 1-complement: in plaats
van de rol van een soort minteken te vervullen, staat de meest significante bit (zeg, bit nummer n) voor −1 ∗ 2 n−1 .
De rest van de bits wordt “normaal” geïnterpreteerd en een negatief getal wordt dan ook gevormd door de positieve
waarde van de minder significante bits op te tellen bij −1 ∗ 2 n−1 .
Door deze definitie van getallen is de hoogste waarde die gerepresenteerd kan worden met een bitrij waarvan de meest
significante bit de waarde 1 heeft, de waarde −1. In tegenstelling tot 1-complement is er dus niet zoiets als −0 in
2-complement notatie. Bijgevolg is het aantal representeerbare negatieve waarden in 2-complement ook 1 groter dan
het aantal representeerbare positieve waarden: van −1 ∗ 2 n−1 tot en met 2 n−1 − 1 .
De relatie tussen positieve en negatieve waarden is dan ook als volgt:
Zijb=0b n−1 ···b 0 een bitrij die de waarde N representeert. Dan is (met dezelfde definitie voor complement
van een bit als bij 1-complement) de bitrij die -N representeert gelijk aan 1b ∗ n−1 ···b ∗ 0 +1
.
Het idee is als volgt: stel dat met een bitrij de waarden −1∗2 n +1 tot en met 2 n −1 zou kunnen worden gerepresenteerd
in 2-complement notatie (dus dan zou de interpretatie van de meest significante bit −1 ∗ 2 n +1zijn in plaats van
−1 ∗ 2 n ). Voor iedere representeerbare negatieve waarde -N geldt dan: −N =(−1 ∗ 2 n +1)+(2 n − 1 − N)
. Gegeven een waarde N, vinden we de waarde (2 n − 1 − N) door van alle bits behalve de meest significante het
complement te nemen. Tellen we deze waarde op bij −1 ∗ 2 n +1(door ook de meest significante bit 1 te maken),
dan vinden we (−1 ∗ 2 n +1)+(2 n − 1 − N) =−N . Echter, we hadden afgesproken dat de waarde van de
meest significante bit −1 ∗ 2 n is en niet −1 ∗ 2 n +1. Om die ontbrekende 1 te compenseren, moet er 1 bij de
complement-notatie opgeteld worden om bij N de waarde -N te vinden.
Als voorbeeld vinden we −77 uit 77 in 2-complement als volgt:
152