Signalbehandling Formelsamling

OBS:N−1 ∑n=0e j2π k − k 0N· n = N · δ(k − k 0 , (modulo N))1.8.2 Cirkulär faltningx n Ny n =N−1 ∑l=0x l y n−lDFT←→ X k Y kCirkulär faltningdär ∑ står för cirkulär faltning. Detta betyder att x n -ochy n -sekvenserna skallupprepas periodiskt före summationen, dvs utanför intervallet n =0, 1,...,N − 1gäller vid summationen att x n−lN = x n och y n−lN = y n (l = heltal) dvs indexberäknas modulo N. Cirkulär faltning betecknas också x(n) ∗ y(n).1.8.3 Icke-cirkulär faltning med DFTOm x(n) =0för n ≠[0,L− 1] och y(n) =0för n ≠[0,M − 1] så är x ∗ y =0förn ≠[0,N − 1] där N ≥ L + M − 1.Faltningen kan beräknas ur⎧⎪⎨ x ○∗ y = IDFT(X k Y k ) n =0, 1,...,N − 1x ∗ y =⎪⎩0 f.ö.därX k = DFT(x(n))Y k = DFT(y(n))1.8.4 Relation till Fouriertransformen X(f):X(k/N) = X k = DFT(x(n)) om x(n) =0för n ≠[0,N − 1]∞∑X(k/N) = X k = DFT(x p (n)) allmänt x(n) där x p (n) = x(n − lN)1.8.5 Relation till Fourierserier( ) kX = X k = DFT(x(n)) = N · c kNl=−∞omdärochc k = 1 Nx(n) =x p (n), 0 ≤ n ≤ N − 1x p (n) =N−1 ∑n=0N−1 ∑k=0nkj2πc k e N−∞