Ressursbok i geometri for lærerutdanningen

More documents

Recommendations

Info

10 3 Fra drøm til virkelighet – et forsøk på reform av matematikkundervisningen 3.1 En brannfakkel: "Euclid must go!" Særlig i de tre første tiårene etter den andre verdenskrig var det sterke krefter i gang for å reformere matematikkundervisningen. Synspunktene som der kom frem er så viktige for vårt forsøk på å drøfte geometriens plass i skolematematikken at vi ønsker å omtale reformbestrebelsene ganske omfattende. En viktig kilde har vært Gunnar Gjones store arbeid [2]. I USA ble det under og etter den andre verdenskrig ført en omfattende diskusjon om matematikkens plass og innhold i skolen. I [2] nevnes tre omstendigheter som bidro til dette: - Utviklingen av matematikken i sammenheng med krigsteknologien. Blant annet sannsynlighetsteori og statistikk og forskjellige grener av det som nå kalles diskret matematikk fikk stor betydning - Det ble registrert svake kunnskaper i matematikk blant rekrutter. I lys av den betydningen matematikken ble tillagt for krigsteknologien, ble dette sett på som betenkelig - Allerede før krigsslutt begynte en å diskutere hva form amerikansk skole skulle få etter krigen. Misnøyen med rådende forhold i skolen var omkring 1950 så stor at behovet for å gå nye veier var klart for mange. Det var en "atmosfære for reform". Matematikken ble den første arenaen for endring. Matematikere ved universitetene ble førende i de ulike reformprosjektene. Det ble stilt grunnleggende spørsmål, ikke bare til organisering og metoder i matematikkundervisningen, men til selve det matematiske "curriculum". The College Entrance Examination Board spurte for eksempel: [Is it] appropriate, in the second half of the twentieth century, for an examination in secondary school advanced mathematics to be devoted, in approximately equal parts, to trigonometry, advanced algebra, and solid geometry. ... [W]as this what the schools should be teaching? Mot slutten av 1950-årene ble det kontakt og samarbeid mellom amerikanske og europeiske reformkretser. En svært viktig hendelse i denne sammenhengen var "Royaumont-konferansen" i 1959 (på Cercle Culturel de Royaumont i Asnières-sur-Oise nær Paris). Fremtredende personer fra amerikansk og europeisk reformbevegelse bidro. Se [2], del II, s. 56–62 og den offisielle rapporten etter konferansen [8]. Ikke bare er det slik at "a considerably greater portion of the student's time in school will have to be devoted to science and mathematics" – men matematikkundervisningen selv må også reformeres – "so as to adapt and strengthen it for its utilitarian role of carrying the ever heavier burden of the scientific and technological superstructure which rests upon it" het det i innledningsforedraget, holdt av den amerikanske matematikeren Marshall H. Stone. Men mest oppmerksomhet vakte foredraget til en førende fransk matematiker, Jean Alexandre Dieudonné. (Foredraget er gjengitt i sin helhet i [8], s. 31–46.) Hva krever Dieudonné av en første-årsstudent ved et universitet eller en ingeniørhøgskole? Vedkommende bør, on the one hand, be familiar with a certain number of elementary techniques in which it takes a long time to achieve proficiency, and which are essential for further progress – such as elementary linear algebra, analytic geometry, trigonometry and some calculus. On the other hand, the student should already be fairly well trained in the use of logical deduction and have some ideas of the axiomatic method. ([8], s. 32) Øistein Bjørnestad 2005
Dieudonné tar det forbehold at matematikkundervisningen i den videregående skole også har andre hensyn å ivareta – hans oppgave var å se saken fra universitetslærerens synspunkt (og slik sett står det dårlig til, mente han). ('Videregående skole' er vår oversettelse av 'secondary school', som begynner på vidt forskjellige årstrinn i forskjellige land. I Frankrike og Tyskland den gang ved år 11, i Storbritannia ved år 12, f.eks.) Dieudonné går inn for en radikal reform av innholdet av matematikken for elever 14–18 år, for å spare tid og for å avlaste universitetene. Første punkt: "Euclid must go!". Han hevder at vurdert ut fra anvendeligheten for moderne forskning kunne det viktigste av euklidsk plangeometri undervises på to eller tre timer, – one of them being occupied by the description of the axiom system, one by its useful consequences and possibly a third one by a few mildly interesting exercises. Everything else which now fills volumes of "elementary geometry" – and by that I mean, for instance, everything about triangles (it is perfectly feasible and desirable to describe the whole theory without even defining a triangle!), almost everything abour inversion, systems of circles, conics, etc. – has just as much relevance to what mathematicians (pure and applied) are doing today as magic squares or chess problems! ([8], s. 35f) Hva mener han med "useful consequences" av aksiomene? Jo, todimensjonal lineær algebra samt ortogonalitet, sirkler, rotasjoner, symmetrier, vinkler og gruppen av isometrier. Videre: In contrast with this "ideal" way of teaching geometry, I do not have to tell you what is actually done at present in the secondary schools. The basic notions (point, line, distance, angle) are never given a strict axiomatic definition; they are introduced by direct appeal to intuition, although their exact relation to the physical objects they are supposed to "idealise" is never made very clear. As no complete system of axioms is ever stated, it is, of course, completely impossible to check the correct[ness] of any proof. Finally, through a fantastically laborious and complicated process ..., one reaches, as so called "theorems", the simple properties listed ... [han sikter til aksiomer for todimensjonale vektorer med skalarprodukt], after having, in addition, spent months and years over all the mathematical trifles which I mentioned above. ... I am convinced that if these mathematicians [de store matematikere i fortid og nåtid] had been taught nothing at all until the age of, say, 16, they would, in all probability, have done just as well, and all the mathematicians of my generation know by experience what pains they had to go through in order to shed the bad habits and wrong viewpoints which had been drilled into them by an old-fashioned education. ([8], s. 37f) Hvordan undervise? Han understreker to prinsipper: [A] mathematical theory can only be developed axiomatically in a fruitful way when the student has already acquired som familiarity with the corresponding material – a familiarity gained by working long enough with it on a kind of experimental, or semi-experimental basis, i.e., with constant appeal to intuition. ... when logical inference is introduced in some mathematical question, it should always be presented with absolute honesty – that is, without trying to hide gaps or flaws in the argument ... I have espacially in mind the way in which the beginnings of geometry are taught at present, with the parade of "definitions" which do not define anything and of pseudo "proofs" which cannot undergo [her menes trolig 'stand up to'] logical analysis. It therefore appears a disgrace not to be able to present to the student a completely deductive theory, starting all the way from the basic axioms ... For my own part, I see nothing wrong or dishonorable in starting with a premise which is not an axiom ... as soon as it is possible to show without any logical flaw that the given statement implies another one. Not only would this be much more instructive, it would also put in its true light the nature of logical inference and its relative character, which is often obscured by the manner in which it is hopelessly mixed up with the metaphysical notion of "truth". ([8], s. 39–40) Dieudonné går over til å skissere et "moderne opplegg". Vi begrenser oss stort sett til det han sier om geometri. Opp til 14 år: Øistein Bjørnestad 2005 11
Page 1 and 2: Ressursbok i geometri for lærerutd
Page 3: Del I Hvorfor geometri? Forsøk på
Page 6 and 7: 2 2 Didaktikk og fagdidaktikk - beg
Page 8 and 9: 4 i det hele) ikke er noen autonom
Page 10 and 11: 6 - Hva er grunnene til at mitt fag
Page 12 and 13: 8 generelt, skal vi her trekke inn
Page 16 and 17: 12 The goal is to make the student
Page 18 and 19: 14 eksempel parallelle linjer og no
Page 20 and 21: 16 minst understreket en at det er
Page 22 and 23: 18 But [Thom's] interpretation of "
Page 24 and 25: 20 faget ikke kunne forsvare den pl
Page 26 and 27: 22 need to build up layers of exper
Page 28 and 29: 24 4 Er matematikk "naturlig"? I de
Page 30 and 31: 26 og på den andre siden våre dag
Page 32 and 33: 28 er forbundet med visse tabufores
Page 34 and 35: 30 spillene. En av Roths kategorier
Page 36 and 37: 32 Åpenhet Matematiske idéer er o
Page 38 and 39: 34 - nærme seg gjennom kontekster
Page 40 and 41: 36 og uten overlappinger.) Et annet
Page 42 and 43: 38 5 Forsøk på en oppsummering Je
Page 44: 40 beviset. Den som måtte lese dis

Ressursbok i geometri for lærerutdanningen

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?