Ressursbok i geometri for lærerutdanningen

In the last year of the second cycle, the student will also be introduced to the
fundamental concepts of projective, descriptive, and conformal geometries.
To ting ble igjen og igjen understreket av dem som argumenterte for en
endret matematikkundervisning:
1 Matematikken må fremstå enhetlig. Etter moderne synsmåte har alle
disiplinene (algebra, geometri, analyse, ...) har en dyp indre sammenheng.
For at undervisningen skal få frem denne sammenhengen, som er
den eneste veien til virkelig forståelse, må den understreke matematikkens
struktur, særlig ved bruk av begreper og symboler fra mengdelæren
2 Det bør undervises ren matematikk. Å trekke inn anvendelser av matematikken
vil fungere som "støy".
Punkt 1
Dette var en top-down tilnærming til stoffet, fra det generelle til det
spesielle. Dette var ikke unaturlig, siden foregangsmennene i reformbevegelsene
var universitetsmatematikere fascinert av moderne grunnlagsforskning
og av "Bourbaki". – Også kognitiv psykologi, representert ved psykologen
Jerome Seymour Bruner, må nevnes her. – Både innholdet i lærebøkene
og undervisningsmåten skulle ha fagets grunnleggende struktur som
fokus. For matematikk er kort og godt "vitenskapen om formelle systemer"
([2], del II, s. 8). Ut fra et slikt syn blir det selve strukturene som er det
interessante ved matematikken.
Morris Kline, professor i matematikk ved New York University, var den
førende skikkelsen bak et memorandum som ble offentliggjort i 1962,
underskrevet av 64 matematikere. (Memorandumet er gjengitt i sin helhet i
kapittel 9 av [7].) Der lød det andre toner:
... to introduce unifying concepts where there is no experience to unify, is worse
than useless ...
Videre tok memorandumet for seg dilemmaet induktiv arbeidsmåte – formelle
bevis. Det gikk inn for en uformell arbeidsmåte. For det er slik matematikere
arbeider, ved intuisjon og gjetting. Det formelle beviset er bare
en legitimering av det som er oppnådd ved intuisjonens hjelp. Formelle resonnementer
bør ikke unngås, men bør ikke komme for tidlig. Undervisningen
bør innrettes etter det "genetiske prinsipp": Den bør følge de store
linjer i den historiske utviklingen av matematikken (uten de mange feilene i
detaljer!). De som sto bak memorandumet var helt enige i at det var behov
for reform av matematikkundervisningen. De trakk frem at faget tradisjonelt
ble presentert i deler uten innbyrdes sammenheng, ofte som "knep", og at det
var isolert fra naturvitenskapene. Dette bringer oss til
Punkt 2:
Mange var for. Det amerikanske College Entrance Examination Board
nedsatte en komité som i 1959 kom med en viktig rapport. Her het det:
It would be most unfortunate to attempt to justify the four year study of mathematics
solely as preparation for a wide and ever increasing range of applications.
Mathematics is eminently worthy of study in its own right: it is a vital and shining
example of mankind's creativity, one of the great cultural achievements of the ages.
([2], del I, s. 31)
Men det var også røster som talte mot. John (opprinnelig Johann) von
Neumann, stor matematiker, skrev:
As a mathematical discipline travels far from its empirical source, or still more, if it is
a second or third generation only indirectly inspired by the ideas coming from
'reality', it is beset with very grave dangers. ([2], del I, s. 18)
Memorandumet var ikke helt avvisende til alt i reformarbeidet. For eksempel
het det at det var vel verdt å innføre grunnleggende begreper som
kunne skape enhetlighet i presentasjonen, og spesielt at en forstandig bruk
av mengdelære og abstrakt algebra kunne bidra til slik enhetlighet. Men ikke
Øistein Bjørnestad 2005
15