ESTADOS LIMITE DE COMPONENTES MECˆANICOS ... - UFRJ

Como a partir do estado atual a evolução pode se dar com ˙
ε e maior, menor ou igual a
zero, para que 2.41 permaneça válida, é necessário que
ou
que é a primeira lei de estado.
Chamando em 2.40:
tem-se a segunda lei de estado.
Fenchel:
(σ − ∇εeW ) = 0 (2.42)
σ = ∇εeW (2.43)
A = −∇αW (2.44)
O potencial energia livre e seu dual relacionam-se por uma transformação de
W c (σ, A) = sup
εe∗ ,β∗ [σ · ε e∗ − A · β ∗ − W (ε e∗ , β ∗ )] (2.45)
W (ε e , β) = sup
σ∗ ,A∗ [σ ∗ · ε e − A ∗ · β − W c (σ ∗ , A ∗ )] (2.46)
As leis de estado podem ser sintetizadas,
(σ, A) = ∇W (ε − ε p , −β) (2.47)
(ε e , −β) = ∇W c (σ, A) (2.48)
Em 2.36 está assumido o desacoplamento da função energia livre em relação a ε e e β.
Supondo o potencial energia livre, quadrático:
as leis de estado assumem a forma linear
e
com IE e IH constantes.
Em variáveis generalizadas,
W (ε e , β) = 1
2 IEεe · ε e + 1
IHβ · β (2.49)
2
σ = IEε e
(2.50)
A = −IHβ (2.51)
σ = IEε e
24
(2.52)