ESTADOS LIMITE DE COMPONENTES MECˆANICOS ... - UFRJ

Assim, pode-se escrever a dissipação:
χ(d p , ˙ β) = sup
(σ∗ ,A∗ {σ
)
∗ · d p + A ∗ · ˙ β − IP (σ, A)} (2.59)
Além disso, 2.59 pode ser vista como uma transformada de Legendre-Fenchel onde a
função conjugada é a indicatriz de P . Assim, o potencial conjugado da dissipação é:
χ c (σ, A) := IP (σ, A) (2.60)
Se o potencial dissipação fosse Fréchet diferenciável as leis de evolução seriam derivadas
dele em estrita analogia com as leis de estado. Não sendo χ Fréchet diferenciável, vale
a relação:
(σ, A) ∈ ∂χ(d p , ˙ β) (2.61)
onde, ∂χ representa o conjunto subdiferencial de χ, conjunto este definido pela relação:
χ ∗ (d p , ˙ β) − χ(d p , ˙ β) (σ, A) · [(d p , ˙ β) ∗ − (d p , ˙ β)] (2.62)
À luz da análise convexa, o princípio da dissipação máxima eqüivale também a:
ou
(σ, A) = arg sup
(σ∗ ,A∗ )∈P
(σ ∗ · d p + A ∗ · ˙ β) (2.63)
NP (σ, A) := ∂IP (σ, A) (2.64)
(d p , ˙ β) ∈ NP (σ, A) (2.65)
(σ) ∈ P (2.66)
(σ − σ ∗ ) · d p + (A − A ∗ ) · ˙ β 0 ∀ (σ ∗ , A ∗ ) ∈ P (2.67)
onde NP (σ, A) é o cone das normais a P em (σ, A), sendo necessário ainda que seja
obedecida a condição de consistência:
A condição de admissibilidade plástica 2.56 é equivalente a
˙σ · d p + ˙ A · ˙ β = 0 (2.68)
f(σ, A) 0 (2.69)
onde f é a função de escoamento. No caso do critério de von Mises, f é unimodal e
regular e para os materiais standard generalizados 2.65 pode ser substituída por:
(d p , ˙ β) = ˙ λ∇f(σ, A) (2.70)
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