teoria das probabilidades ii - Departamento de Ciências Exatas ...

Sumário
1 De…nições Básicas 1
1.1 Modelo Matemático para um Experimento . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Espaços de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 De…nição e Propriedades das Probabilidades . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4 Independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Variáveis Aleatórias 18
2.1 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Função de Distribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Variáveis Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Variáveis Aleatórias Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Vetores Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1 Independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.1 Transformações Mensuráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.2 Distribuições de Funções de Variáveis e Vetores Aleatórios . . 32
2.6.3 Método do Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.4 Estatísticas de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Esperança Matemática 38
3.1 De…nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.1 Propriedades da Esperança Matemática . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Esperanças de Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1 Propriedades da Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Esperanças de Funções de Vetores Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 A Função Geratriz de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6 Lista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Distribuição e Esperança Condicionais 65
5 Convergência de Variáveis Aleatórias 71
5.1 Tipos de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Leis dos Grandes Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 Teorema Central do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
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