teoria das probabilidades ii - Departamento de Ciências Exatas ...

Observação 15 Assim, podemos perceber que
P (X1 2 dx1; :::; Xn 2 dxn) = f(x)dx1:::dxn.
Exemplo 19 Sejam três variáveis aleatórias X, Y e Z com função de densidade
conjunta dada por
f(x; y; z) = kxy2 z, se 0 < x 1, 0 < y 1 e 0 < z p 2
0, caso contrário
Encontre o valor de k e ache a função de densidade marginal de X.
Exemplo 20 (Função Mista) Considere duas variáveis aleatórias X e Y, sendo X
discreta e Y contínua, com função mista de probabilidade dada por
f(x; y) =
xyx 1
, se x = 1; 2; 3 e 0 < y 1
3
0, caso contrário
(a) Veri…que que esta função é de fato uma função mista de probabilidade.
(a) Mostre que
8
0, se x < 1 ou y < 0
y
, se 1 x < 2 e 0 3
><
y < 1
F (x; y) = , se x 3 e 0 3
1,
se 1 x < 2 e y 3
2
>:
, se 2 x < 3 e y 3
1, se x 3 e y 1
y < 1
1
1
2.5.1 Independência
y+y 2
3 , se 2 x < 3 e 0 y < 1
y+y 2 +y 3
De…nição 23 Sejam X1; X2; :::; Xn, n 2, variáveis aleatórias de…nidas no mesmo
espaço de probabilidade ( ; A; P ), de modo que X = (X1; :::; Xn) é um vetor aleatório
em ( ; A; P ). As variáveis aleatórias X1; X2; :::; Xn são (coletivamente) indepen-
dentes se
P fX1 2 B1; X2 2 B2; :::; Xn 2 Bng =
para todo Bi 2 A, i = 1,2,...,n.
29
nY
P fXi 2 Big
i=1