teoria das probabilidades ii - Departamento de Ciências Exatas ...

Proposição 17 Se X1; X2; :::; Xn
nY
são variáveis aleatórias independentes e integráveis,
então Xi é integrável e
i=1
Prova. (Em aula)
E [X1:X2:::Xn] =
nY
E[Xi].
O exemplo a seguir nos mostra que a recíproca da proposição anterior não é
sempre verdadeira, isto é, EXY = EX:EY não implica X e Y independentes.
Exemplo 30 Sejam X e Y variáveis aleatórias tomando valores 1; 0; 1 com dis-
tribuição conjunta dada por p( 1; 1) = p( 1; 1) = p(1; 1) = p(1; 1) = p(0; 0) =
1.
Então EXY = EX:EY , mas X e Y não são independentes, pois P (X = 0; Y =
5
0) 6= P (X = 0):P (Y = 0).
De…nição 31 A covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é de…nida como
i=1
Cov(X; Y ) = E [(X EX) (Y EY )]
= E [XY ] E [X] E [Y ]
Duas variáveis aleatórias X e Y são ditas não-correlacionadas se Cov(X; Y ) =
0. Segue-se que variáveis aleatórias independentes são não-correlacionadas, mas
a recíproca não é necessariamente verdadeira.
Observação 26 Há certos casos em que não correlação implica em independência.
O caso mais importante é o da Normal: Se X e Y possuem distribuição conjunta nor-
mal bivariada e são não-correlacionadas, então = 0 e como vimos anteriormente
X e Y são independentes.
Proposição 18 A variância da variável aleatória Y = nP
Xi é dada por
V ar
" nX
i=1
Xi
#
=
i=1
nX
V ar [Xi] + 2 X
Cov(Xi; Xj).
i=1
45
i