teoria das probabilidades ii - Departamento de Ciências Exatas ...

Teorema 16 Sejam Y1; Y2; :::; Yn variáveis aleatórias transformadas, isto é, Yi =
gi(X1; X2; :::; Xn) para i=1,2,...,n. Então a densidade conjunta de Y1; Y2; :::; Yn é
fY(y1:::; yn) = fX(h1(y1; :::; yn):::; hn(y1; :::; yn)) jJ(x; y)j , y 2 G
0, y =2 G
onde fX é a função de densidade conjunta de X.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 24 Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes, cada uma com dis-
tribuição exponencial com parâmetro 1, mostre que Z = X + Y e W = X
Y são
também independentes com densidades
e
fZ(z) = ze z , z > 0
0, z 0
8
< 1
, w > 0
fW (w) = (w + 1) 2
:
0, w 0
Observação 19 Seja a função g : R n ! R k com k < n. Então g não é bijetora.
Então para obtermos a distribuição de Y = g(X), basta:
(a) Completar a transformação g através de variáveis auxiliares convenientes:
Yk+1 = gk+1(X); :::; Yn = gn(X).
(b) Obter a conjunta de Y1; Y2; :::; Yn usando o método do jacobiano fY(y1:::; yn) =
f(h1(y1; :::; yn):::; hn(y1; :::; yn)) jJ(x; y)j.
(c) Obter a marginal conjunta de Y1; Y2; :::; Yk como R 1
1 ::: R 1
1 fY(y1:::; yn)dyk+1:::dyn.
Exemplo 25 A função de densidade conjunta de X e Y é dada por
fX;Y (x; y) = 1
(x + y)1(0;2](x)1(0;1](y).
3
35
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