teoria das probabilidades ii - Departamento de Ciências Exatas ...

Proposição 6 (Critério para independência no caso contínuo)
(a) Se X1; X2; :::; Xn, n 2, são variáveis aleatórias independentes e possuem
densidades fX1; :::; fXn, então a função
nY
fX(x1; :::; xn) =
i=1
fXi (xi), (x1; :::; xn) 2 R n
é densidade conjunta das variáveis aleatórias X1; X2; :::; Xn.
(b) Reciprocamente, se X1; X2; :::; Xn têm densidade conjunta f satisfazendo
nY
fX(x1; :::; xn) = fi(xi) para todo (x1; :::; xn) 2 Rn onde fi(xi) 0 e R 1
1 fi(x)dx =
i=1
1 para todo i, então X1; X2; :::; Xn são variáveis aleatórias independentes e fi é a
densidade de Xi para todo i = 1,2,...,n.
Prova. (Em aula)
Proposição 7 (a) Se F (x; y) é a função de distribuição conjunta de X e Y, então
a função de distribuição marginal de X é
FX(x) = lim
y!1 FX;Y (x; y) = FX;Y (x; +1).
(b) Se f(x; y) é a função de densidade conjunta de X e Y, então a função de
densidade marginal de X é
Prova. (Em aula)
Z 1
fX(x) = f(x; y)dy.
1
Exercício 34 Enuncie o resultado análogo da proposição anterior para o caso dis-
creto.
Exemplo 21 Dizemos que o vetor aleatório (X; Y ) possui distribuição normal bi-
variada quando tem densidade dada por
f(x; y) =
2
1
p
1 2 1 2 :
(
"
: exp
1
2 (1 2 )
x 1
1
31
2
2
x 1
1
y 2
2
+ y 2
2
2 #)