teoria das probabilidades ii - Departamento de Ciências Exatas ...

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De…nição 30 De…ne-se o desvio-padrão da variável aleatória X, denotado por DP (X) ou X, como DP (X) = p V ar(X). Observação 23 Pelas de…nições acima, vemos que m1 = E(X) M1 = 0 M2 = V ar(X) = m2 m 2 1. Proposição 13 (Desigualdade básica de Markov) Seja X uma variável aleatória não-negativa e seja > 0 uma constante. Então Prova. Em aula. P (X ) E(X) . Proposição 14 (Desigualdade de Markov) Seja X uma variável aleatória qualquer e seja > 0 uma constante. Então para todo t > 0, Prova. Em aula. P (jXj ) E jXjt t . Proposição 15 (Desigualdade Clássica de Tchebychev) Seja X uma variável aleatória integrável e seja > 0 uma constante. Então Prova. Em aula. P (jX E(X)j ) V ar(X) 2 . Exercício 40 Suponha que X seja uma variável aleatória tal que P (X 0) = 1 e P (X 10) = 1. Mostre que E(X) 2. 5 43
Exercício 41 Suponha que X seja uma variável aleatória tal que E(X) = 10, P (X 7) = 0; 2 e P (X 13) = 0; 3. Prove que V ar(X) 9 2 . Proposição 16 Se Z 0 e EZ = 0, então P fZ = 0g = 1, ou seja, Z = 0 quase certamente. Prova. Em aula. Observação 24 A proposição acima implica que, quando V arX = 0, então X é constante quase certamente, pois P fX = EXg = 1. 3.4 Esperanças de Funções de Vetores Aleatórios Teorema 17 Seja X = (X1; X2; :::; Xn) um vetor aleatório em ( ; A; P ) e : R n ! R mensurável a Borel. Então E (X) = Z1 1 ydF (X)(y) = Z1 1 Z ::: 1 1 (x)dFX(x) onde a última integral é uma integral n-dimensional de Stieltjes. Prova. (Teoria da Medida) Observação 25 (i) Se X for discreto tomando valores em fx1; x2; :::g temos E (X) = 1X i=1 (xi)pX(xi). (ii) Se X for contínuo com densidade fX(x) temos E (X) = Z1 1 Z ::: 1 1 (x)fX(x)dx1:::dxn. (iii) E[ 1(X) + ::: + n(X)] = E[ 1(X)] + ::: + E[ n(X)]. 44
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